Integrale triplo
Salve a tutti, ho bisogno di un aiuto nella descrizione analitica di un solido per calcolare un generico integrale triplo $ int int int_(T)f(x, y, z) dx dy dz $ . Il solido T in questione è delimitato da $ z=sqrt(x^2+y^2) $ e $ z=2-(x^2+y^2) $ . Come posso fare?
Risposte
Conviene usare le coordinate cilindriche:
${(x=\rho\cos\theta),(y=\rho\sin\theta),(z=z):}$
Considerando che $\sqrt{x^2+y^2} \leq z \leq 2-x^2-y^2$, è evidente che $2-x^2-y^2 \geq \sqrt{x^2+y^2}$, passando alle coordinate cilindriche si ha $2-\rho^2 \geq \rho$ essendo $\rho \geq 0$ avremo $0 \leq \rho \leq 1$.
A questo punto con il cambiamento di coordinate si ottiene l'integrale:
$$\int \int_{D}(\int_{R}f(\rho, \theta, z)dz)\rho d\rho d\theta$$
Con $D={(\rho, \theta) | 0 \leq \rho \leq 1, 0 \leq \theta <2\pi}$ e $R={z | \rho \leq z \leq 2-\rho^2}$
${(x=\rho\cos\theta),(y=\rho\sin\theta),(z=z):}$
Considerando che $\sqrt{x^2+y^2} \leq z \leq 2-x^2-y^2$, è evidente che $2-x^2-y^2 \geq \sqrt{x^2+y^2}$, passando alle coordinate cilindriche si ha $2-\rho^2 \geq \rho$ essendo $\rho \geq 0$ avremo $0 \leq \rho \leq 1$.
A questo punto con il cambiamento di coordinate si ottiene l'integrale:
$$\int \int_{D}(\int_{R}f(\rho, \theta, z)dz)\rho d\rho d\theta$$
Con $D={(\rho, \theta) | 0 \leq \rho \leq 1, 0 \leq \theta <2\pi}$ e $R={z | \rho \leq z \leq 2-\rho^2}$
Non sono convinto della caratterizzazione di D... Come faccio ad essere sicuro che $ sqrt(2) $ sia la misura del raggio massimo, ed invece non un numero più piccolo?
Hai ragione ho considerato male il dominio, infatti poiché deve risultare $\sqrt{x^2+y^2} \leq 2-x^2-y^2$ si ha...ho modificato il post
Ok! Grazie mille per l'aiuto 
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