Integrale triplo...?
Buonasera a tutti,
Mi è di recente capitato di dover calcolare il volume (mediante integrale triplo) di una regione dello spazio così definita:
\(\displaystyle (x,y,z)\in R^3 : x^2+y^2+(z+4)^2\leq 16 , z \geq -\sqrt{3}\sqrt{x^2+y^2} \)
Disegnandola, se non sbaglio, risulta essere una sfera (di centro (0,0,-4)) sormontata da un semicono infinito negativo con vertice nell'origine (è corretto?)!
Ho provato a calcolare l'integrale utilizzando le coordinate sferiche di centro (0,0,-4), ma, mentre riesco a determinare con facilità i valori di r e \(\displaystyle \theta \) usando la prima disequazione e considerando che l'angolo varia tra 0 e 2\(\displaystyle \pi \), non riesco a determinare in modo pratico il valore dell'angolo \(\displaystyle \phi \) tra i punti dell'insieme e l'asse z: se sostiuisco nella seconda equazione ottengono l'equazione trigonometrica:
\(\displaystyle rcos(\phi )-4 \leq -\sqrt{3}rsin\phi \)
(dove l'espressione a secondo membro è ottenuta sostituendo \(\displaystyle x=rcos\theta sin\phi , y=rsin\theta sin\phi \) e semplificando l'espressione che risulta poi sotto radice)
Da cui non riesco a ricavare una condizione su \(\displaystyle \phi \)!
Utilizzando le coordinate cilindriche invece la situazione sembra migliorare, ma anche in quel caso non riesco poi a proseguire nello svolgimento dei calcoli dal momento che mi risulta t dipendente da funzioni di r... e r dipendente da funzioni di t, sempre se (come è probabile, purtroppo) non ho sbagliato qualcosa io nei calcoli.
Secondo voi come si potrebbe risolvere? Esistono altri metodi, che al momento a me non vengono in mente, più comodi per calcolare questo integrale?
Grazie infinite in anticipo!!
Mi è di recente capitato di dover calcolare il volume (mediante integrale triplo) di una regione dello spazio così definita:
\(\displaystyle (x,y,z)\in R^3 : x^2+y^2+(z+4)^2\leq 16 , z \geq -\sqrt{3}\sqrt{x^2+y^2} \)
Disegnandola, se non sbaglio, risulta essere una sfera (di centro (0,0,-4)) sormontata da un semicono infinito negativo con vertice nell'origine (è corretto?)!
Ho provato a calcolare l'integrale utilizzando le coordinate sferiche di centro (0,0,-4), ma, mentre riesco a determinare con facilità i valori di r e \(\displaystyle \theta \) usando la prima disequazione e considerando che l'angolo varia tra 0 e 2\(\displaystyle \pi \), non riesco a determinare in modo pratico il valore dell'angolo \(\displaystyle \phi \) tra i punti dell'insieme e l'asse z: se sostiuisco nella seconda equazione ottengono l'equazione trigonometrica:
\(\displaystyle rcos(\phi )-4 \leq -\sqrt{3}rsin\phi \)
(dove l'espressione a secondo membro è ottenuta sostituendo \(\displaystyle x=rcos\theta sin\phi , y=rsin\theta sin\phi \) e semplificando l'espressione che risulta poi sotto radice)
Da cui non riesco a ricavare una condizione su \(\displaystyle \phi \)!
Utilizzando le coordinate cilindriche invece la situazione sembra migliorare, ma anche in quel caso non riesco poi a proseguire nello svolgimento dei calcoli dal momento che mi risulta t dipendente da funzioni di r... e r dipendente da funzioni di t, sempre se (come è probabile, purtroppo) non ho sbagliato qualcosa io nei calcoli.
Secondo voi come si potrebbe risolvere? Esistono altri metodi, che al momento a me non vengono in mente, più comodi per calcolare questo integrale?
Grazie infinite in anticipo!!
Risposte
Come ricaviamo che z varia tra -6 e 0?
Grazie TeM... Effettivamente -6 è la quota più bassa che raggiunge il volume (basta mettere a sistema l'equazione del semi-cono inferiore con la sfera data).
Aah, ora è tutto chiaro! Grazie infinite! 
Non avevo pensato di applicare delle coordinate cilindriche centrate nell'origine, per poi ricavare le condizioni sul raggio usando entrambe le disequazioni! In effetti dalla prima si può sviluppare il quadrato e "portare di là" tutte le z, ricavando così una condizione extra sul raggio!
Applicandole centrate nel centro della sfera invece non riuscivo (mi stavo complicando la vita!) poi a utilizzare la seconda disequazione a causa di un '-4' che compariva a primo termine!
Grazie mille!
Non avevo pensato di applicare delle coordinate cilindriche centrate nell'origine, per poi ricavare le condizioni sul raggio usando entrambe le disequazioni! In effetti dalla prima si può sviluppare il quadrato e "portare di là" tutte le z, ricavando così una condizione extra sul raggio!
Applicandole centrate nel centro della sfera invece non riuscivo (mi stavo complicando la vita!) poi a utilizzare la seconda disequazione a causa di un '-4' che compariva a primo termine!
Grazie mille!
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