Integrale triplo:

[Ster24]

Avendo tale dominio :
$x^2+y^2<=2; 2x^2+2y^2+z^2<=8$ e passata in coordinate cilindriche ho le relazioni:$ p^2sin^2(x)<=2$ e da qui ricavo:
$0<=p<=sqrt(2) $, invece dall'altro pezzo ricavo $2p^2sin^2(x)+p^2cos^2(x)<=8$ da questa non so cosa ricavare, mi aiutate?

[Noisemaker]

ma cosa devi integrare?

[Thyeme]

dalla prima condizione ti ricavi $rho^2<=2$ mentre dalla seconda $|z|<=sqrt(8-2rho^2)$

Quindi nel tuo integrale gli intervalli di integrazione saranno $0
(ho usato le coordinate cilindriche)

[Ster24]

Devo calcolare il volume di tale insieme

[Thyeme]

a me il volume esce $2/3pi (8^(3/2)-4^(3/2))$

[Ster24]

Come fai a fare l'integrale triplo? io ho questo:
$int_{0}^{2pi} dθ* ( int_{0}^{sqrt2} int_{-sqrt(8-2p^2)}^{sqrt(8-2p^2)} dz)dp$ ottieni lo stesso?

[Thyeme]

"Ster24":Come fai a fare l'integrale triplo? io ho questo:
$ ottieni lo stesso?

ti ricordo che lo jacobiano della trasformazione in coordinate cilindriche è $rho$ (o come lo chiami te $p$)

Quindi l integrale sarà $int_{0}^{2pi} dθ* ( int_{0}^{sqrt2} rho int_{-sqrt(8-2rho^2)}^{sqrt(8-2rho^2)} dz)drho$

[Ster24]

Potresti dirmi come hai svolto l'integrale in parentesi? non riesco proprio !

[Thyeme]

Facilmente si arriva a (se proprio non riesci ad arrivarci dimmelo ma ti consiglio di provarci più volte)

$ 4pi* int_0^(sqrt(2)) rhosqrt(8-2rho^2)drho$ = $-pi*int_0^(sqrt(2)) -4rho(8-2rho^2)^(1/2)drho$

ora sapendo che $-4rho$ è proprio la derivata di $8-2rho^2$ si calcola facilmente l integrale

=$-2/3pi*(8-2rho^2) |_0^(sqrt(2))$


Basta ricordarsi che $int x^(1/2) dx$ = $2/3 x^(3/2)$