Integrale triplo
Salve a tutti ,
sto calcolando il centro di massa di un cono centrato nell'origine , e sto cercando l'unica coordinata che non è zero , ovvero la $ Z $ .
Per prima cosa ho " messo " il cono con lo spigolo superiore nell ' origine , insomma l' ho capovolto , ho fatto l'integrazione per fili parametrizzando così le quote la $ Z =h/(R)( x^2 +y^2 )^(1/2 )$, non ho avuto grossi problemi .
Poi per esercitarmi ho rimesso il cono con la base sul piano xy sempre incentrandolo nell ' origine , e ho dei forti dubbi sulla parametrizzazione di z.
Mi basta invertire $ h $ e $ r $ ?
cioè fare cosi : $ Z=R/(h)( x^2 +y^2 )^(1/2) $ , sto sempre integrando per fili .
Sono certo che è sbagliato , in teoria avevo trovato un 'altra parametrizzazione :
$Z= h+h(x^2 +y^2 )^(1/2) $
Grazie in anticipo .
sto calcolando il centro di massa di un cono centrato nell'origine , e sto cercando l'unica coordinata che non è zero , ovvero la $ Z $ .
Per prima cosa ho " messo " il cono con lo spigolo superiore nell ' origine , insomma l' ho capovolto , ho fatto l'integrazione per fili parametrizzando così le quote la $ Z =h/(R)( x^2 +y^2 )^(1/2 )$, non ho avuto grossi problemi .
Poi per esercitarmi ho rimesso il cono con la base sul piano xy sempre incentrandolo nell ' origine , e ho dei forti dubbi sulla parametrizzazione di z.
Mi basta invertire $ h $ e $ r $ ?
cioè fare cosi : $ Z=R/(h)( x^2 +y^2 )^(1/2) $ , sto sempre integrando per fili .
Sono certo che è sbagliato , in teoria avevo trovato un 'altra parametrizzazione :
$Z= h+h(x^2 +y^2 )^(1/2) $
Grazie in anticipo .
Risposte
ti conviene integrare per sezioni in quel caso....
\begin{align}
\bar z:=\frac{1}{m(C)}\iiint_{C} z dxdydz=\frac{3}{\pi R^2h}\int_{z=0}^{h}z\left(\iint_{x^2+y^2\le R^2(z)}
dxdy\right)dz
dz\end{align}
dove evidentemente
\begin{align}
\frac{h-z}{h}=\frac{R(z)}{R}\qquad\Leftrightarrow\qquad R(z)=R\left(1-\frac{z}{h}\right)\end{align}
e quindi l'integrale diviene:
\begin{align}
\bar z:&=\frac{1}{m(C)}\iiint_{C} z dxdydz=\frac{3}{\pi R^2h}\int_{z=0}^{h}z\left(\iint_{x^2+y^2\le R^2(z)}
dxdy\right)dz= \frac{3\pi}{\pi R^2h}\int_{z=0}^{h}z R^2(z) dz\\
&= \frac{3 }{ R^2h}\int_{z=0}^{h}z R^2\left(1-\frac{2z}{h}+\frac{z^2}{h^2}\right) dz= \frac{3 }{ h}\int_{z=0}^{h}z \left(1-\frac{2z}{h}+\frac{z^2}{h^2}\right) dz\\
&=\frac{3}{h}\left[\frac{z^2}{2}-\frac{2z^3}{3h}+\frac{z^4}{4h^2}\right]_{z=0}^{h}= ... =\frac{h}{4}.
\end{align}
\begin{align}
\bar z:=\frac{1}{m(C)}\iiint_{C} z dxdydz=\frac{3}{\pi R^2h}\int_{z=0}^{h}z\left(\iint_{x^2+y^2\le R^2(z)}
dxdy\right)dz
dz\end{align}
dove evidentemente
\begin{align}
\frac{h-z}{h}=\frac{R(z)}{R}\qquad\Leftrightarrow\qquad R(z)=R\left(1-\frac{z}{h}\right)\end{align}
e quindi l'integrale diviene:
\begin{align}
\bar z:&=\frac{1}{m(C)}\iiint_{C} z dxdydz=\frac{3}{\pi R^2h}\int_{z=0}^{h}z\left(\iint_{x^2+y^2\le R^2(z)}
dxdy\right)dz= \frac{3\pi}{\pi R^2h}\int_{z=0}^{h}z R^2(z) dz\\
&= \frac{3 }{ R^2h}\int_{z=0}^{h}z R^2\left(1-\frac{2z}{h}+\frac{z^2}{h^2}\right) dz= \frac{3 }{ h}\int_{z=0}^{h}z \left(1-\frac{2z}{h}+\frac{z^2}{h^2}\right) dz\\
&=\frac{3}{h}\left[\frac{z^2}{2}-\frac{2z^3}{3h}+\frac{z^4}{4h^2}\right]_{z=0}^{h}= ... =\frac{h}{4}.
\end{align}
Si lo so che è conveniente , ho fatto questo esercizio 4 volte , 2 volte per sezione e 2 per fili rispettivamente con il cono capovolto e con il cono sull' asse xy , non per masochismo ma per esercitarmi nella parametrizzazione dei domini ect ect.. 
Per sezione non ho avuto alcun problema , per fili inizialmente le cose sembravano andare ...
Il calcolo non mi viene quando faccio per fili e metto la base piano $xy$ perché non riesco a parametrizzare la $ Z$ , cosa che invece m'era venuta tanto bene per il cono con il vertice superiore nell ' origine degli assi e la base ad una quota $ h>0 $ sull ' asse delle $z$ per la quale avevo trovato questa parametrizzazione :
$ Z= h/R(x^2 +y^2)^(1/2) $
Ora io sono indeciso tra le due che che ho proposto , premetto che il calcolo non mi viene esatto per nessuna delle due parametrizzazioni
Grazie comunque Noisemaker !
Per sezione non ho avuto alcun problema , per fili inizialmente le cose sembravano andare ...
Il calcolo non mi viene quando faccio per fili e metto la base piano $xy$ perché non riesco a parametrizzare la $ Z$ , cosa che invece m'era venuta tanto bene per il cono con il vertice superiore nell ' origine degli assi e la base ad una quota $ h>0 $ sull ' asse delle $z$ per la quale avevo trovato questa parametrizzazione :
$ Z= h/R(x^2 +y^2)^(1/2) $
Ora io sono indeciso tra le due che che ho proposto , premetto che il calcolo non mi viene esatto per nessuna delle due parametrizzazioni
Grazie comunque Noisemaker !
Mi scuso con tutti quelli che hanno provato a svolgere questo ex.
Ho sbagliato la parametrizzazione ,
non è $Z= h+h(x^2 +y^2 )^(1/2) $
ma $Z= h-h(x^2 +y^2 )^(1/2) $
e riviene $h/4$
Ho sbagliato la parametrizzazione ,
non è $Z= h+h(x^2 +y^2 )^(1/2) $
ma $Z= h-h(x^2 +y^2 )^(1/2) $
e riviene $h/4$
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