Integrale triplo

[tassog]

ciao, avrei bisogni di una mano con questo integrale triplo

∫∫∫z dxdydz E={(x,y,z)| z ≤ -3(rad(x^2+y^2)) , -2 ≤ z ≤ -1}
E

ho pensato di integrare per strati quindi riscrivo il dominio E come:

E ={(x,y,z,)| -1 ≤ z ≤ -2, (x,y)∈ D} e D={(x,y)|z ≤ -3(rad(x^2+y^2))}

a questo punto ho

-2
∫ ( ∫∫ z dxdy)dz
-1 D

come risolvo l'integrale su D?
devo passare alle coordinate cilindriche?
grazie

[Quinzio]

"gio1792":
devo passare alle coordinate cilindriche?

E' meglio

[tassog]

è giusto scrivere D={(x,y)| x^2+y^2 ≤ z^2/9}

e quindi {x=s cos t
{y=s sin t con 0≤t≤2π e 0 ≤s≤ z/3
e risolvere l'integrale doppio su questi estremi?

[Quinzio]

In coordinate cilindriche serve l'angolo e l'altezza (che hai trovato) e il raggio, che però non vedo.

[tassog]

il raggio è s, con 0 ≤s≤ z/3, no?

[Quinzio]

"gio1792":il raggio è s, con 0 ≤s≤ z/3, no?

$z$ è solo negativa, quello che hai scritto non va bene...

[tassog]

quindi?come faccio a trovare l'intervallo entro cui varia il raggio?

[Quinzio]

Se $z$ varia da -2 a -1, il raggio varia da $1/3$ a $2/3$.

[tassog]

in definitiva quindi l'integrale diventa
-1 2π 2/3
∫ ∫ ∫ z*s dsdtdz ?
-2 0 1/3

[Quinzio]

$\int_(-2)^(-1) 2\pi (z^2/9)z\ dz$

mi sembra che questo sia già abbastanza se si vuole integrare per strati.

$2\pi(z^2/9)$ è l'area dello strato.

[tassog]

perfetto, grazie mille!

[melli13]

@Quinzio Perchè a me esce che l'aria dello strato è $z^2/9 pi$? Dove sbaglio?