Integrale triplo

[xnix]

sia la $P$ la piramide di vertice il punto $(0,0,a)$ avente per base il quadrato di vertici $(1,1,0) (1,-1,0) (-1,1,0) (-1,-1,0)$. poniamo $g(a)=\int int int_p z(|x|+|y|) dxdydz$

dunque ho provato prima a integrare per fette orizzontalmente poi per fili l'unica cosa che il risultato viene diverso! vi mostro a grandi line i pass:

integrazione per fette:
$4$ $\int_0^a z dz \int_0^1 dy \int_-y^y x+y dx$ integro $x+y$ senza modulo perché considero la parte superiore e poi moltiplico per $4$ il risultato, che è $4/3 a^2$

integrazione per fili
prima di tutto ho trovato il piano passante per tre punti che è $z=a(1-x)$. poi faccio l'integrale doppio dell'ottava parte del quadrato normale rispetto a x:
$8$ $\int_0^1 dx \int_0^x dy \int_0^(a(1-x)) z(x+y)dz$ il risultato finale è $1/10 a^2$

dove e cosa sbaglio?

[gio73]

scusami, ma a me si torce lo stomaco al pensiero di dover usare gli integrali per calcolare il volume di una piramide. La base è un quadrato di lato $2$, di conseguenza l'area di base è $4$. L'altezza della piramide è evidentemente $a$, di conseguenza il volume della piramide $V=(A_b*h)/3=(4*a)/3=4/3a$

[xnix]

prima cosa di tutto l'integrale triplo calcola la massa più che il volume! seconda cosa il dominio è una piramide, la funzione da integrare è tutt'altro che piramide..

[gio73]

ah, ok. Ho letto di fretta, scusa. Allora ripartiamo: noi abbiamo una piramide dentro la quale una proprietà cambia secondo la funzione $g=z(|x|+|y|)$?

[xnix]

si si

[gio73]

Provo a ragionare con te, ma non prometto niente (anzi! sarai tu a dare una mano a me).
L'idea serebbe di tagliare a fettine il pezzettino che si trova nella porzione di spazio (si dice "ottante"?) dove $x$, $y$ e $z$ sono positive e poi moltiplicare il risultato per 4?

[xnix]

si si taglio a fette quindi considero prima l'integrale doppio della quarta parte del quadrato, poi integro lungo $dz$ che ha $a$ come altezza

[Quinzio]

"xnix":sia la $P$ la piramide di vertice il punto $(0,0,a)$ avente per base il quadrato di vertici $(1,1,0) (1,-1,0) (-1,1,0) (-1,-1,0)$. poniamo $g(a)=\int int int_p z(|x|+|y|) dxdydz$

dunque ho provato prima a integrare per fette orizzontalmente poi per fili l'unica cosa che il risultato viene diverso! vi mostro a grandi line i pass:

integrazione per fette:
$4$ $\int_0^a z dz \int_0^1 dy \int_-y^y x+y dx$ integro $x+y$ senza modulo perché considero la parte superiore e poi moltiplico per $4$ il risultato, che è $4/3 a^2$

dove e cosa sbaglio?

Questa non è una integrazione per fette ma ancora per fili.
Di fatto questo integrale si finisce per farlo sempre per fili, per ovvi motivi.
L'idea di considerare solo un ottante per togliere di mezzo i moduli di x e y va bene.
Prendiamo l'ottante primo.
Una fetta è una sezione orizzontale della piramide, se facciamo delle fette "orizzontali".
Le sezioni sono triangolo isosceli, coi lati uguali sovrapposti agli assi.

Ora supponiamo che i lati uguali siano lunghi $k$.
Dobbiamo fare l'integrale

$\int_0^k \int_0^(k-y) z(x+y) dx dy = \int_0^k z/2(x+y)^2]_0^(k-y) dy =\int_0^k z/2(k^2-y^2) dy =$

$= z/2(yk^2-y^3/3)]_0^k = z/3 k^3$


Ad una certa "z", lati uguali sono lunghi:

$1-z/a$.

Basta fare un disegno della sezione verticale ed è semplice vederlo.
L'integrale valutato sul triangolo è quindi:

$z/3 (1-z/a)^3$

Si integra su z da 0 ad "a":

$\int_0^a\ z/3 (1-z/a)^3dz$ che richiede qualche calcolo.

Di fatto è una integrazione a fili.....

[xnix]

"Quinzio":Ora supponiamo che i lati uguali siano lunghi $k$.
Dobbiamo fare l'integrale

$\int_0^k \int_0^(k-y) z(x+y) dx dy = \int_0^k z/2(x+y)^2]_0^(k-y) dy =\int_0^k z/2(k^2-y^2) dy =$

$= z/2(yk^2-y^3/3)]_0^k = z/3 k^3$


Ad una certa "z", lati uguali sono lunghi:

$1-z/a$.

Basta fare un disegno della sezione verticale ed è semplice vederlo.
L'integrale valutato sul triangolo è quindi:

$z/3 (1-z/a)^3$

Si integra su z da 0 ad "a":

$\int_0^a\ z/3 (1-z/a)^3dz$ che richiede qualche calcolo.

Di fatto è una integrazione a fili.....

scusa non capisco cosa sia $\int_0^(k-y)$ e quando dici che a una certa "z": $1-z/a$

[xnix]

"Quinzio":Ora supponiamo che i lati uguali siano lunghi $k$.
Dobbiamo fare l'integrale

$\int_0^k \int_0^(k-y) z(x+y) dx dy = \int_0^k z/2(x+y)^2]_0^(k-y) dy =\int_0^k z/2(k^2-y^2) dy =$

$= z/2(yk^2-y^3/3)]_0^k = z/3 k^3$


Ad una certa "z", lati uguali sono lunghi:

$1-z/a$.

Basta fare un disegno della sezione verticale ed è semplice vederlo.
L'integrale valutato sul triangolo è quindi:

$z/3 (1-z/a)^3$

Si integra su z da 0 ad "a":

$\int_0^a\ z/3 (1-z/a)^3dz$ che richiede qualche calcolo.

Di fatto è una integrazione a fili.....

scusa non capisco cosa sia $\int_0^(k-y)$ e quando dici che a una certa "z": $1-z/a$