Integrale triplo
Ho questo integrale triplo da calcolare:
$ int int int_(A)^() (x+y^2+z^3) dx dy dz $ con A= $ ((x,y,z)in R^3: x^2+y^2+z^2<= 2, x^2+y^2>=1) $
Allora, io ho usato le coordinate sferiche anche se, ancora non ho capito bene quando usare quelle sferiche o quelle cilindriche, c'è qualche particolare regola?
Quindi ponendo :
x=rcos(a)sen(b)
y=rsen(a)sen(b)
z=rcos(b)
l'insieme d'integrazione mi esce $0 <= r <= rad2$ (radice di 2 non riesco ad inserirla)
e $arcsen(1/r) <= b <= pi $ ed $0<=a<=2pi$
e poi calcolo l'integrale normalmente.. è giusto così o, sbaglio qualcosa?
$ int int int_(A)^() (x+y^2+z^3) dx dy dz $ con A= $ ((x,y,z)in R^3: x^2+y^2+z^2<= 2, x^2+y^2>=1) $
Allora, io ho usato le coordinate sferiche anche se, ancora non ho capito bene quando usare quelle sferiche o quelle cilindriche, c'è qualche particolare regola?
Quindi ponendo :
x=rcos(a)sen(b)
y=rsen(a)sen(b)
z=rcos(b)
l'insieme d'integrazione mi esce $0 <= r <= rad2$ (radice di 2 non riesco ad inserirla)
e $arcsen(1/r) <= b <= pi $ ed $0<=a<=2pi$
e poi calcolo l'integrale normalmente.. è giusto così o, sbaglio qualcosa?
Risposte
radice è \sqrt. Io dico che le limitazioni sono queste però:
$a\in[0,2\pi),\ b\in[0,\pi],\ \rho\in[1/{\sin b},\sqrt{2}]$
Il fatto è che se risolvi $\rho^2\sin^2 b\ge 1$ come hai fatto, passi per la disequazione $\sin^2 b\ge 1/\rho^2$ che dipende da $\rho$. ora, relativamente alla scelta fatta prima di $\rho$, ci sono valori di esso (ad esempio $\rho=1/2$) in cui tale disequazione non ha soluzioni e quindi non hai una relazione "continua" per i valori di $b$).
Tra l'altro, basta un attimo di riflessione per rendersi conto che il dominio, essendo intersezione tra una sfera e un cilindro, presenta simmetrie rispetto agli assi e rispetto all'origine, quindi viene naturale considerare gli angoli variabili nel loro massimo dominio.
$a\in[0,2\pi),\ b\in[0,\pi],\ \rho\in[1/{\sin b},\sqrt{2}]$
Il fatto è che se risolvi $\rho^2\sin^2 b\ge 1$ come hai fatto, passi per la disequazione $\sin^2 b\ge 1/\rho^2$ che dipende da $\rho$. ora, relativamente alla scelta fatta prima di $\rho$, ci sono valori di esso (ad esempio $\rho=1/2$) in cui tale disequazione non ha soluzioni e quindi non hai una relazione "continua" per i valori di $b$).
Tra l'altro, basta un attimo di riflessione per rendersi conto che il dominio, essendo intersezione tra una sfera e un cilindro, presenta simmetrie rispetto agli assi e rispetto all'origine, quindi viene naturale considerare gli angoli variabili nel loro massimo dominio.
Ahhh ok grazie mille, capito!
Posso chiedere un'ultima cosa riguardo l'esercizio?..lo stavo svolgendo adesso ed mi vengono dei calcoli assurdi... in pratica prima ho integrato rispetto ad a, poi rispetto a p ed infine rispetto a b... mi vengono però alla fine, degli integrali con seno e coseno elevati alla terza o quarta..
Dunque, vediamo: l'integrale diventa
$\int_0^{2\pi}(\int_0^\pi(\int_{1/{\sin b}}^{\sqrt{2}}(r\cos a\sin b+r^2\sin^2 a\sin^2 b+r^3\cos^3 b) r^2\sin b\ dr)\ db)\ da=$
$=\int_0^{2\pi}(\int_0^\pi[r^4/4\cos a\sin^2 b+r^5/5\sin^2 a\sin^3 b+r^6/6\cos^3 b\sin b]_{1/{\sin b}}^{\sqrt{2}}\ db)\ da=$
$=\int_0^{2\pi}(\int_0^\pi(\cos a\sin^2 b+{4\sqrt{2}}/5\sin^2 a\sin^3 b+4/3\cos^3 b\sin b-{\cos a}/{4\sin^2 b}-{\sin^2 a}/{5\sin^2 b}-{\cos^3 b}/{6\sin^5 b}) db)\ da$
Ora, il problema è integrare
$\sin^2 b,\quad \sin^3 b,\quad 1/{\sin^2 b},\quad {\cos^3 b}/{\sin^5 b}$
Andiamo con ordine: nel primo usando la formula di bisezione del seno si ha
$\int_0^\pi \sin^2 b\ db=\int_0^\pi {1-\cos(2b)}/2\ db=1/2[b-1/2 \sin(2b)]_0^\pi=\pi/2$
Nel secondo usando la formula fondamentale della trigonometria si ha
$\int_0^\pi \sin^3 b\ db=\int_0^\pi \sin b(1-\cos^2 b)\ db=[-\cos b+{\cos^3 b}/3]_0^\pi=0$
Ora però gli integrali con $\sin b$ a denominatore sono problematici (non convergono). Ci devo pensare: forse c'è un errore nelle sostituzioni.
$\int_0^{2\pi}(\int_0^\pi(\int_{1/{\sin b}}^{\sqrt{2}}(r\cos a\sin b+r^2\sin^2 a\sin^2 b+r^3\cos^3 b) r^2\sin b\ dr)\ db)\ da=$
$=\int_0^{2\pi}(\int_0^\pi[r^4/4\cos a\sin^2 b+r^5/5\sin^2 a\sin^3 b+r^6/6\cos^3 b\sin b]_{1/{\sin b}}^{\sqrt{2}}\ db)\ da=$
$=\int_0^{2\pi}(\int_0^\pi(\cos a\sin^2 b+{4\sqrt{2}}/5\sin^2 a\sin^3 b+4/3\cos^3 b\sin b-{\cos a}/{4\sin^2 b}-{\sin^2 a}/{5\sin^2 b}-{\cos^3 b}/{6\sin^5 b}) db)\ da$
Ora, il problema è integrare
$\sin^2 b,\quad \sin^3 b,\quad 1/{\sin^2 b},\quad {\cos^3 b}/{\sin^5 b}$
Andiamo con ordine: nel primo usando la formula di bisezione del seno si ha
$\int_0^\pi \sin^2 b\ db=\int_0^\pi {1-\cos(2b)}/2\ db=1/2[b-1/2 \sin(2b)]_0^\pi=\pi/2$
Nel secondo usando la formula fondamentale della trigonometria si ha
$\int_0^\pi \sin^3 b\ db=\int_0^\pi \sin b(1-\cos^2 b)\ db=[-\cos b+{\cos^3 b}/3]_0^\pi=0$
Ora però gli integrali con $\sin b$ a denominatore sono problematici (non convergono). Ci devo pensare: forse c'è un errore nelle sostituzioni.
E' anche a me viene una cosa del genere..
"TeM":
Scusate l'intromissione, ma se \(\frac{1}{\sin b}\le r \le \sqrt{2}\) allora necessariamente
deve essere \(\frac{1}{\sin b} \le \sqrt{2}\) che in \([0,\;\pi]\) è verificata per \(\frac{\pi}{4}\le b \le \frac{3\pi}{4}\). No?
E c'hai ragione pure tu.... scemo io!
Ah ecco ahahah
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