Integrale triplo (1)

[enrico.bellemo]

Ciao a tutti! Ultimamente mi sto cimentando con gli integrali tripli e con alcuni sto avendo dei problemi purtroppo... Ma veniamo all'esercizio!

Dato l'insieme $ E = {(x,y,z)in R^3: 1<=x^2+y^2<=4; 0<=z<=3-sqrt(9-x^2-y^2)} $

Calcolare : $ int int int_(E) (z-3)/sqrt(x^2+y^2) dx dy dz $

Allora, il mio professore applica le coordinate cilindriche: $ { ( x=rcos(theta) ),( y=rsin(theta) ),( z=z ):} $

di conseguenza: $ { ( 1<=r<=2 ),( 0<=theta<=2pi ),( 0<=z<=3-sqrt(9-r^2)):} $

ottenendo: $ int_(1)^(2) dr int_(0)^(2pi) dvartheta int_(0)^(3-sqrt(9-r^2)) (z-3)/r rdz $

e qui viene subito messo il risultato, che è $ -7/3pi $

Ora, cercando di capire come l'integrale è stato risolto, ho proceduto così:
$ int_(1)^(2) dr int_(0)^(2pi) [z^2/2-3z]_(0)^(3-sqrt(9-r^2)) dvartheta $

ottenendo infine, dopo qualche passaggio: $ int_(1)^(2) pi(9-9sqrt(9-r^2)-r^2) dr $

che è il punto in cui mi incastro

Grazie in anticipo, non esitate a segnalare qualsiasi cosa!

[Genny_it]

"Henry!":

Ora, cercando di capire come l'integrale è stato risolto, ho proceduto così:
$ int_(1)^(2) dr int_(0)^(2pi) [z^2/2-3z]_(0)^(3-sqrt(9-r^2)) dvartheta $

Ciao Henry!, penso tu abbia fatto qualche errore di calcolo, partendo da quanto hai scritto qui sopra ottengo :

$int_1^2drint_0^(2pi)[z^2/2-3z]_0^(3-sqrt(9-r^2)) d theta =$
$int_1^2drint_0^(2pi)(((3-sqrt(9-r^2))^2)/2-3(3-sqrt(9-r^2)))d theta =$
$int_1^2drint_0^(2pi)((9+9-r^2-6sqrt(9-r^2))/2-9+3sqrt(9-r^2))d theta =$
$1/2int_1^2drint_0^(2pi)( 9+9-r^2-6sqrt(9-r^2)-18+6sqrt(9-r^2) )d theta =$
$1/2 int_1^2 dr int_0^(2pi)(-r^2) d theta =$
$1/2*(-2pi) int_1^2 r^2 dr =$
$-pi [r^3/3]_1^2$ $= -pi[8/3-1/3]=-7/3pi$
Scusami se ho scritto un poco in maniera grezza.
P.s penso che vada bene così (mi trovo con il risultato da te riportato)

[enrico.bellemo]

Bravissimo, grazie mille!