Integrale - trigonomatria
Buongiorno a tutti.
E' da stamane che sto districandomi con questo integrale. Ho provato varie sostituzioni ma proprio mi blocco e credo che probabilmente sbaglierò qualcosa. Posto ciò che ho pensato in merito. Grazie a tutti.
\(\displaystyle \int \frac{dx}{(sinx)^2+sinx} \) =
\(\displaystyle \int \frac{dx}{sinx (1+sinx)} \)
Pongo \(\displaystyle sinx = t \)
\(\displaystyle dx= \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}} \)
\(\displaystyle \int \frac{dt}{t (1+t) \sqrt{1-t^2} } \)
A questo punto mi blocco, nessun'altra sostituzione che ho provato a fare mi aiuta.
E' da stamane che sto districandomi con questo integrale. Ho provato varie sostituzioni ma proprio mi blocco e credo che probabilmente sbaglierò qualcosa. Posto ciò che ho pensato in merito. Grazie a tutti.
\(\displaystyle \int \frac{dx}{(sinx)^2+sinx} \) =
\(\displaystyle \int \frac{dx}{sinx (1+sinx)} \)
Pongo \(\displaystyle sinx = t \)
\(\displaystyle dx= \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}} \)
\(\displaystyle \int \frac{dt}{t (1+t) \sqrt{1-t^2} } \)
A questo punto mi blocco, nessun'altra sostituzione che ho provato a fare mi aiuta.
Risposte
Prova con le formule parametriche, ossia poni $\tan \left(\frac{x}{2}\right)=t$.
Questi integrali sono “standard”: c’è una sostituzione che funziona sempre ed è citata su tutti i libri di testo... E non è quella che hai usato.
Vai a recuperare il tuo testo di riferimento e leggi il paragrafo sull’integrazione per sostituzione.
Vai a recuperare il tuo testo di riferimento e leggi il paragrafo sull’integrazione per sostituzione.
Ma anche spaccandolo si può fare agevolmente.
$1/(sin^2(x)+sin(x))=1/(sin(x)(1+sin(x))) = 1/sin(x)-1/(1+sin(x))=1/sin(x)-(1-sin(x))/(1-sin^2(x))=1/sin(x)-1/cos^2(x)+sin(x)/cos^2(x)$
E questi sono immediati
$1/(sin^2(x)+sin(x))=1/(sin(x)(1+sin(x))) = 1/sin(x)-1/(1+sin(x))=1/sin(x)-(1-sin(x))/(1-sin^2(x))=1/sin(x)-1/cos^2(x)+sin(x)/cos^2(x)$
E questi sono immediati
Ciao MatheMato,
Benvenuto sul forum!
Seguirei il consiglio che ti ha già dato Mephlip di porre
$t := tan(x/2) \implies \text{d}t = 1/2 (tan^2(x/2) + 1) \text{d}x = 1/2 (t^2 + 1) \text{d}x \implies \text{d}x = \frac{2\text{d}t}{t^2 + 1} $ per cui si ha:
$ \int \frac{\text{d}x}{(sinx)^2+sinx} = \int \frac{2\text{d}t}{(1 + t^2)[((2t)/(1 + t^2))^2+ (2t)/(1 + t^2)]} = \int \frac{2\text{d}t}{(4t^2)/(1 + t^2) + 2t} = \int \frac{1 + t^2}{t^3 + 2t^2 + t} \text{d}t = $
$ = \int \frac{1 + t^2}{t(t + 1)^2} \text{d}t = \int [1/t - \frac{2}{(t + 1)^2}] \text{d}t = \int 1/t \text{d}t - 2 \int \frac{1}{(t + 1)^2} \text{d}t$
A questo punto dovresti essere in grado di concludere...
Benvenuto sul forum!
Seguirei il consiglio che ti ha già dato Mephlip di porre
$t := tan(x/2) \implies \text{d}t = 1/2 (tan^2(x/2) + 1) \text{d}x = 1/2 (t^2 + 1) \text{d}x \implies \text{d}x = \frac{2\text{d}t}{t^2 + 1} $ per cui si ha:
$ \int \frac{\text{d}x}{(sinx)^2+sinx} = \int \frac{2\text{d}t}{(1 + t^2)[((2t)/(1 + t^2))^2+ (2t)/(1 + t^2)]} = \int \frac{2\text{d}t}{(4t^2)/(1 + t^2) + 2t} = \int \frac{1 + t^2}{t^3 + 2t^2 + t} \text{d}t = $
$ = \int \frac{1 + t^2}{t(t + 1)^2} \text{d}t = \int [1/t - \frac{2}{(t + 1)^2}] \text{d}t = \int 1/t \text{d}t - 2 \int \frac{1}{(t + 1)^2} \text{d}t$
A questo punto dovresti essere in grado di concludere...
Ringrazio Mephlip per la dritta, ringrazio molto pilloeffe per la pazienza, l'aiuto e l'accoglienza, grazie mille. Grazie a chi ha speso un pò del proprio tempo.
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