Integrale tridimensionale
Ho qualche dubbio sulla correttezza del calcolo di un integrale triplo.
Si tratta di $\int_Ex^2dxdydx$ con $E={(x,y,z}\inRR^3:x^2+y^2<=1,x^2+z^2<=1}$.
Riporto brevemente i miei calcoli.
$\int_Ex^2dxdydx=$
$=\int_(x^2+y^2<=1)\int_-sqrt(1-x^2)^sqrt(1-x^2)x^2dzdxdy=$
$=\int_(x^2+y^2<=1)2x^2sqrt(1-x^2)dxdy=$
$=\int_-1^1\int_-sqrt(1-x^2)^sqrt(1-x^2)2x^2sqrt(1-x^2)dydx=$
$=\int_-1^1 4x^2(1-x^2)dx=$
$=64/15$
Quel risultato non mi convince in quanto il dominio d'integrazione e' l'intersezione di due cilindri perpendicolari di uguale raggio dunque mi aspettavo un risultato un po piu' "tondo"
Qualcuno che ha voglia di fare qualche conto mi direbbe se quanto ho scritto e' corretto? Grazie
Si tratta di $\int_Ex^2dxdydx$ con $E={(x,y,z}\inRR^3:x^2+y^2<=1,x^2+z^2<=1}$.
Riporto brevemente i miei calcoli.
$\int_Ex^2dxdydx=$
$=\int_(x^2+y^2<=1)\int_-sqrt(1-x^2)^sqrt(1-x^2)x^2dzdxdy=$
$=\int_(x^2+y^2<=1)2x^2sqrt(1-x^2)dxdy=$
$=\int_-1^1\int_-sqrt(1-x^2)^sqrt(1-x^2)2x^2sqrt(1-x^2)dydx=$
$=\int_-1^1 4x^2(1-x^2)dx=$
$=64/15$
Quel risultato non mi convince in quanto il dominio d'integrazione e' l'intersezione di due cilindri perpendicolari di uguale raggio dunque mi aspettavo un risultato un po piu' "tondo"
Qualcuno che ha voglia di fare qualche conto mi direbbe se quanto ho scritto e' corretto? Grazie
Risposte
Ti conviene integrare per strati orizzontali.
Se tagli uno strato orizzontale da un cilindro "sdraiato" sul fianco, ottieni un rettangolo (se il cilindro è infinitamente lungo, ottieni una striscia infinita).
I due cilindri sono posti a 90° quindi intersechi due rettangoli ottenendo un quadrato di lato $2\sqrt(1-z^2)$.
Allora l'integrale diventa:
$8\int_0^1 \sqrt(1-z^2)\int_0^(\sqrt(1-z^2)) x^2 \ dx \ dz=$
$8/3\int_0^1 (1-z^2)^2 \ dz=$
$8/3 (z-2/3z^3+1/5z^5)|_0^1 = 8/3* 8/15=64/45$
Se tagli uno strato orizzontale da un cilindro "sdraiato" sul fianco, ottieni un rettangolo (se il cilindro è infinitamente lungo, ottieni una striscia infinita).
I due cilindri sono posti a 90° quindi intersechi due rettangoli ottenendo un quadrato di lato $2\sqrt(1-z^2)$.
Allora l'integrale diventa:
$8\int_0^1 \sqrt(1-z^2)\int_0^(\sqrt(1-z^2)) x^2 \ dx \ dz=$
$8/3\int_0^1 (1-z^2)^2 \ dz=$
$8/3 (z-2/3z^3+1/5z^5)|_0^1 = 8/3* 8/15=64/45$
Ricontrollando i conti ho trovato l'errore...di calcolo!
Nell'ultimo passaggio si ha che $\int_-1^14x^2(1-x^2)dx=16/15$ e per il resto mi sembra andare bene.
Riguardo la tua soluzione ti seguo fino ad ottenere un quadrato di lato $2sqrt(1-z^2)$ ma poi non capisco il modo in cui hai impostato l'integrale...
Nell'ultimo passaggio si ha che $\int_-1^14x^2(1-x^2)dx=16/15$ e per il resto mi sembra andare bene.
Riguardo la tua soluzione ti seguo fino ad ottenere un quadrato di lato $2sqrt(1-z^2)$ ma poi non capisco il modo in cui hai impostato l'integrale...
Anche a me viene $16/15$ ,
qual' è il risultato giusto ?
qual' è il risultato giusto ?
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