Integrale tramite residui

[Seigi]

Salve a tutti, ho questo integrale:
\[ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\cos x+\sin x}{2x^4-3jx^2+2}\ \text{d} x \]

Credo di aver aggirato il problema di seno e coseno usando le formule esponenziali e dividendolo in 4 integrali più semplici. Il mio problema sono però le singolarità, forse sembrerà banale ma non riesco a uscirne fuori perchè pongo [tex]t=z^2[/tex] ma la parte immaginaria del mio risultato non è seno di nessun angolo noto, quindi non riesco poi a trovare le radici di z... non so se sono stato abbastanza chiaro, il problema è comunque in singolarità e residui.

[Demostene92]

Sì, puoi scomporre il denominatore, sostituendo $x^2=t$.

$2t^2-3it+2->\{(t_1=2i),(t_2=-i/2):}$

A questo punto, risolvendo in $x$, ottieni le quattro radici:

$x_1=sqrt(2i), x_2=-sqrt(2i), x_3=isqrt(i/2), x_4=-isqrt(i/2)$

Quindi hai che:

$\int_{-\infty}^(+\infty)(cosx+sinx)/(2x^4-3ix^2+2)dx=\int_{-\infty}^(+\infty)(cosx+sinx)/[(x-sqrt(2i))(x+sqrt(2i))(x-isqrt(i/2))(x+isqrt(i/2))]dx$.

Tieni presente che: $|(cosx+sinx)/(2x^4-3ix^2+2)|<=M/x^\alpha$, quindi il teorema è applicabile:

$\int_{-\infty}^(+\infty)(cosx+sinx)/[(x-sqrt(2i))(x+sqrt(2i))(x-isqrt(i/2))(x+isqrt(i/2))]dx=2\pii[Res(f,z_1)+Res(f,z_3)}$,

nell'ipotesi di considerare il semipiano $Im(z)>0$.
Ora, non è difficile si tratta di risolvere due limiti in virtù del fatto che sono poli semplici, sempre se non ho fatto errori! Spero di aver capito bene la tua richiesta!

[Seigi]

Ok tutto chiaro, mi ero perso in un bicchier d'acqua, grazie

[gugo82]

@ Demostene92: E chi è \(f\)?

@ Seigi: Metodi con Ferone?