Integrale teo. residui
Salve, vorrei porre alla vostra attenzione un esercizio da risolvere utilizzando il Teorema dei Residui:
$int_(0)^(oo ) log(x)/(1+x^2)$
In breve, per provare a risolverlo ho considerato la stessa funzione integranda con variabile complessa, ed ho provato ad integrarla lungo una curva chiusa $gamma$ formata da una corona circolare di raggio esterno $R$, raggio interno $delta$, e "segata" all'altezza del semiasse positivo delle ascisse con due segmenti paralleli al semiasse stesso e distanti $epsilon$ da esso (argomento del logaritmo fissato tra $0$ e $2pi$). Non ho modo di disegnarla ma spero si capisca. In pratica però non ottengo il risultato voluto, poiché gli integrali lungo i segmenti paralleli all'asse reale si semplificano passando al limite, lasciando fuori un integrale di $(2pi)/(1+x^2)$ dovuto alla discontinuità del logaritmo sul semiasse reale positivo.
Mi viene quindi il dubbio di dover considerare un'altra funzione complessa in modo che rimanga un $log(x)/(1+x^2)$ a giochi fatti. Cosa ne pensate?
Grazie in anticipo.
Simone
$int_(0)^(oo ) log(x)/(1+x^2)$
In breve, per provare a risolverlo ho considerato la stessa funzione integranda con variabile complessa, ed ho provato ad integrarla lungo una curva chiusa $gamma$ formata da una corona circolare di raggio esterno $R$, raggio interno $delta$, e "segata" all'altezza del semiasse positivo delle ascisse con due segmenti paralleli al semiasse stesso e distanti $epsilon$ da esso (argomento del logaritmo fissato tra $0$ e $2pi$). Non ho modo di disegnarla ma spero si capisca. In pratica però non ottengo il risultato voluto, poiché gli integrali lungo i segmenti paralleli all'asse reale si semplificano passando al limite, lasciando fuori un integrale di $(2pi)/(1+x^2)$ dovuto alla discontinuità del logaritmo sul semiasse reale positivo.
Mi viene quindi il dubbio di dover considerare un'altra funzione complessa in modo che rimanga un $log(x)/(1+x^2)$ a giochi fatti. Cosa ne pensate?
Grazie in anticipo.
Simone
Risposte
ricorda che il logaritmo è una funzione polidroma ,quindi difficile da trattare. Io ti consiglio di fare la sostituzione preliminare $log(x)=t$ e poi passi in campo complesso
Non mi è ben chiaro come dovrei operare la sostituzione... 
ciao,
non ho ben capito quale percorso di integrazione hai usato...
secondo me dovresti integrare su un percorso a "pacman". che lascia fuori solamente l'asse reale. Questa scelta secondo me è la migliore visto che l'argomento è compreso fra 0 e $2\pi$.
prova cosi...
non ho ben capito quale percorso di integrazione hai usato...
secondo me dovresti integrare su un percorso a "pacman". che lascia fuori solamente l'asse reale. Questa scelta secondo me è la migliore visto che l'argomento è compreso fra 0 e $2\pi$.
prova cosi...
"Cantaro86":
secondo me dovresti integrare su un percorso a "pacman". che lascia fuori solamente l'asse reale. Questa scelta secondo me è la migliore visto che l'argomento è compreso fra 0 e $2\pi$.
prova cosi...
Che è esattamente quello che ho fatto, mi riferivo al "pacman" quando parlavo di "corona circolare segata"; il problema è che non torna il risultato
ok, ora che ho provato a farlo ho capito cosa intendevi...
si, il percorso che abbiamo scelto noi non va bene perchè poi la parte con il logaritmo si cancella...
quindi il percorso corretto è un percorso a semicerchio che chiude al di sopra. In questo modo mi devo calcolare una funzione a destra e una a sinistra...
il risultato mi viene 0... può essere??
si, il percorso che abbiamo scelto noi non va bene perchè poi la parte con il logaritmo si cancella...
quindi il percorso corretto è un percorso a semicerchio che chiude al di sopra. In questo modo mi devo calcolare una funzione a destra e una a sinistra...
il risultato mi viene 0... può essere??
Non ho ben capito come intendi fare il semicerchio;considera che per via del logaritmo non puoi considerare segmenti reali negativi... Comunque non ho la soluzione 
sono abbastanza sicuro che la soluzione è 0.
Il percorso di integrazione deve essere un semicerchio che sta nel 1° e nel 2° quadrante e che quindi contiene solamente la singolarità in $+i$.
Si può vedere che l'integrale sulla curva esterna è 0 e che gli unici contributi che rimangono solo $\int_{-\infty}^0 f_s(x)dx + \int_0^{\infty} f_d(x)dx$ dove $d$ ed $s$ stanno per destra e sinistra.
Può sembrare strano avere il logaritmo di $-x$ ma se ci pensi, utilizzando l'integrazione complessa, passiamo anche al logaritmo complesso, che è una funzione definita su tutto il piano complesso eccetto che sul taglio.
$f_d(x)=\frac{Logx+i*0}{x^2+1}=f(x)$
$f_s(x)=\frac{Log(-x)+i\pi}{x^2+1}=f(-x)+\frac{i\pi}{x^2+1}$
Usando un cambio di variabile: $\int_{-\infty}^0 f(-x)dx = \int_0^{\infty} f(y)dy$
Se pongo tutto uguale al residuo vedo che l'integrale viene proprio 0.
Spero che quello che ho scritto sia abbastanza chiaro...
Il percorso di integrazione deve essere un semicerchio che sta nel 1° e nel 2° quadrante e che quindi contiene solamente la singolarità in $+i$.
Si può vedere che l'integrale sulla curva esterna è 0 e che gli unici contributi che rimangono solo $\int_{-\infty}^0 f_s(x)dx + \int_0^{\infty} f_d(x)dx$ dove $d$ ed $s$ stanno per destra e sinistra.
Può sembrare strano avere il logaritmo di $-x$ ma se ci pensi, utilizzando l'integrazione complessa, passiamo anche al logaritmo complesso, che è una funzione definita su tutto il piano complesso eccetto che sul taglio.
$f_d(x)=\frac{Logx+i*0}{x^2+1}=f(x)$
$f_s(x)=\frac{Log(-x)+i\pi}{x^2+1}=f(-x)+\frac{i\pi}{x^2+1}$
Usando un cambio di variabile: $\int_{-\infty}^0 f(-x)dx = \int_0^{\infty} f(y)dy$
Se pongo tutto uguale al residuo vedo che l'integrale viene proprio 0.
Spero che quello che ho scritto sia abbastanza chiaro...
Non so, quando consideri $f_s(x)=f(-x)+(ipi)/(1+x^2)$ credo tu non tenga conto che l'argomento del logaritmo vada preso in norma, infatti per definizione di logaritmo complesso, dato $z in CC$ si ha $log(z) :=Log|z|+ iarg(z)$ dove $Log|z|$ è il logaritmo reale.
si... ho preso il modulo 
$|x|= -x $ se x<0
$|x|= -x $ se x<0
Ok mi hai convinto 
(tra l'altro non avrebbe avuto senso considerare -x come argomento senza il modulo 
)
(tra l'altro non avrebbe avuto senso considerare -x come argomento senza il modulo )
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