Integrale svolto

[cristian.vitali.102]

ciao a tutti, devo calcolare lintegrale

$int_2^infty (sqrt(x+2)-sqrt(x-2))/(x+2) dx$

l ho svolto cosi:

$int 1/sqrt(x+2)dx - int sqrt(x-2)/(x+2) dx$

$2sqrt(x+2)- 2 int t^2/(t^2+4) dx$

$2sqrt(x+2)- 2 int (t^2+4-4)/(t^2+4) dx$

$2sqrt(x+2)- 2sqrt(x-2)+8int 1/(t^2+4) dx$

$2sqrt(x+2)- 2sqrt(x-2)+4arctg(sqrt(x-2)/2)$

calcolandolo nell intervallo $[2,infty]$ pero esce una forma indeterminanta.. viene $(infty-infty+pi/2)-(4)$
ho sbagliato qualcosa?

[Lo_zio_Tom]

mi sembra che vada tutto bene....a parte i $dx$ che dovresti sostituire con $dt$...ma è solo un errore di stampa...per la forma indeterminata.....la devi risolvere passando al limite

[Gi81]

Bisogna fare il limite.

Notiamo che $lim_{x->+oo} (2sqrt(x+2) - 2sqrt(x-2) )=
2*lim_{x->+oo} [ (sqrt(x+2) - sqrt(x-2) )* (sqrt(x+2) + sqrt(x-2) )]/[ sqrt(x+2) + sqrt(x-2) ]= $
$= 2*lim_{x->+oo} [(x+2)-(x-2)]/[ sqrt(x+2) + sqrt(x-2) ] = 8 *lim_{x->+oo} 1/[ sqrt(x+2) + sqrt(x-2) ]= 8 * 0 =0$.

Quindi, poiché $lim_{x->+oo} 4 arctan (sqrt(x-2)/2 ) = 4* pi/2$,

si ha $lim_{x->+oo} (2sqrt(x+2) - 2sqrt(x-2) +4 arctan (sqrt(x-2)/2 ) )= 2 pi$.

[cristian.vitali.102]

si giusto, mi era sfuggito
grazie delle risposte

[donald_zeka]

Ma è un integrale improprio mica indefinito...