Integrale superficiale

[kateledger]

Potreste
aiutarmi con questo esercizio...Ho provato a farlo in vari modi,ma il risultato non mi torna...Forse sbaglio il procedimento...
Calcolare l'area della seguente superficie :
\[ \Sigma = \sigma(D) \] con \[ \sigma(u,v)=(u^2, v^2, \sqrt{2}*u*v ) \] e \[ D= \{ u^2 + v^2 \leqslant 4 \} \]
Il risultato è \[ 16 * \pi * \sqrt{2} \] .MI aiutereste moltissimo! Grazie in anticipo! Non so proprio cosa non mi venga!

[gio73]

Ciao Kate,
io non sono in grado di aiutarti, posso solo ragionare con te. Per iniziare puoi dirni se ti sei fatta un'idea sulla forma della superficie di cui devi calcolare l'area?

[ciampax]

Basta applicare la formula

$A=\int_{D}\sqrt{EG-F^2}\ d\sigma$

dove $E=\sigma_u\cdot\sigma_u,\ G=\sigma_v\cdot\sigma_v,\ F=\sigma_u\cdot\sigma_v$ sono i coefficienti della prima forma fondamentale.

[kateledger]

Scusami Ciampax ,ma con \( \sigma u \) intendi la derivata di \( \sigma( u,v) \) in funzione di u e con il corrispondente \( \sigma v \) intendi la derivata di \( \sigma( u,v) \) in funzione di v?

[kateledger]

Ho provato a farlo e torna! Grazie mille...Il fatto è che io pensavo si dovesse usare la formula \( \int_D \parallel n \parallel \text{d} x \) e con questa non mi veniva ..il perché non mi è ancora molto chiaro

[kateledger]

Se ad esempio provo a fare \[ \Sigma = \sigma(D) \] con \[ \sigma(u,v)=(log u, log v, u ) \]e \[ D= \{ 3/4 \leqslant u \leqslant 4/3, 1 \leqslant v \leqslant e \} \] Il risultato sarebbe: 5/12 + log( 3/2)...Quando arrivo alla formula mi viene \[ \int_D \sqrt( 1/ (u^2*v^2) + 1/(v^2) ) \ \text{d} u * \ \text{d} v \] ... ed è un integrale abbastanza mostruoso; quindi penso di aver sbagliato qualcosa ! Secondo voi?

[ciampax]

Dunque:

$\sigma_u=(1/u,0,1),\qquad \sigma_v=(0,1/v,0)$

per cui

$|n|=\sqrt{EG-F}=\sqrt{(1/u^2+1)\cdot 1/v^2-0}=1/{uv}\sqrt{1+u^2}$

Attenzione alle derivate!

[kateledger]

Oddio già! Era così semplice! Scusa davvero per il disturbo...Penso che il caldo mi abbia fatto diventare stupida!