Integrale superficiale!!!

[Tycos]

Devo calcolare l'area della porzione di paraboloide $z=x^2+y^2$ compresa tra i piani $z=0$ e $z=1$.


Dopo aver calcolato $sqrt(A^2+B^2+C^2)$
io ho pensato alle coordinate cilindriche:

$x=rhocos(theta) ; y=rhosen(theta); z=z$

ma non so se ho fatto bene......... anche perchè non saprei come procedere. Mi aiutate?

[alberto861]

parametrizza il paraboloide come $(r cos(t),r sen(t), r^2)$ una base per il piano tangente è allora $(cos(t),sen(t),2r)$ e $(-rsen(t),rcos(t),0)$ i coefficienti della prima forma fondamentale sono $E=1+4r^2 ; F= 0; G= r^2$, l'integrale nella regione suddetta è l'immagine tramite la paraqmetrizzazione data del cerchio di raggio uno per cui l'integrale superficiale è pari a $\int_{0}^{1} dr \int_{0}^{2 \pi} dt (EG-F^2)^{1/2} = \int_{0}^{1} dr \int_{0}^{2 \pi} dt r(1+4r^2)^{1/2}$ una primitiva è $1/12 (1+4r^2)^{3/2}$..buoni conti..

[Tycos]

"alberto86":parametrizza il paraboloide come $(r cos(t),r sen(t), r^2)$ una base per il piano tangente è allora $(cos(t),sen(t),2r)$ e $(-rsen(t),rcos(t),0)$ i coefficienti della prima forma fondamentale sono $E=1+4r^2 ; F= 0; G= r^2$, l'integrale nella regione suddetta è l'immagine tramite la paraqmetrizzazione data del cerchio di raggio uno per cui l'integrale superficiale è pari a $\int_{0}^{1} dr \int_{0}^{2 \pi} dt (EG-F^2)^{1/2} = \int_{0}^{1} dr \int_{0}^{2 \pi} dt r(1+4r^2)^{1/2}$ una primitiva è $1/12 (1+4r^2)^{3/2}$..buoni conti..

avevo provato a parametrizzare il paraboloide anche facendo:

$x=x ; y=y; z=x^2+y^2$ e da qui ho trovato $A=-2x; B=-2y; C=1$, quindi sono proseguito con l'integrale...

$int int_D x^2 + y^2 sqrt(4x^2 + 2y^2 +1) dx dy$

andava bene anche così?? (e poi passavo alle coordinate cilindriche)

[alberto861]

a me così facendo esce $E=1+4x^2 ; F=4xy; G=1+4y^2$ da cui l'integrale che dici tu dovrebbe essere $\int \int_D (1+4y^2+4x^2)^{1/2} dx dy$

[clrscr]

Io farei così...
Il raggio della circonferrenza descritta $z=x^2+y^2$ è pari a $sqrt(z)$.
Quindi applicando le coordinate polari possiamo considerare:
$x=sqrt(z)cos theta$
$y=sqrt(z) sen theta$
L'integrale sarà:
$int_0^1int_0^(2 pi) sqrt(z) d theta d z=4pi/3$.