Integrale Superficiale
Chi mi aiuta ad impostare questo esercizio?
Calcolare l'area del pezzo di paraboloide $z=x^2+y^2$ con $x^2+y^2<=R^2$.
Praticamente è la "scodella" ricavata dal paraboloide sezionato con un cilindro infinito centrato sull'origine del piano $xy$.
Il fatto è che non riesco proprio a capire come impostare l'esercizio..
Calcolare l'area del pezzo di paraboloide $z=x^2+y^2$ con $x^2+y^2<=R^2$.
Praticamente è la "scodella" ricavata dal paraboloide sezionato con un cilindro infinito centrato sull'origine del piano $xy$.
Il fatto è che non riesco proprio a capire come impostare l'esercizio..
Risposte
Va usata la formula dell'area per il calcolo dell'integrale di superficie della funzione $1$.
Ok, questo l'ho capito 
però non riesco a capire che parametrizzazione mi conviene usare. Perchè avevo pensato alle coordinate sferiche, ma le avrei tutte i parametri variabili, mentre ne devono variare solo 2 per parametrizzare una superficie, o no? ò_ò
però non riesco a capire che parametrizzazione mi conviene usare. Perchè avevo pensato alle coordinate sferiche, ma le avrei tutte i parametri variabili, mentre ne devono variare solo 2 per parametrizzare una superficie, o no? ò_ò
Mi pare che la cosa piu' ovvia siano le coordinate polari piane e lasciare la z, ovvero le cilindriche.
Ci ho pensato anch'io alle cilindriche perchè mi sembrava semplificassero il tutto, ma anche con le cilindriche non ci sono sempre 3 parametri che variano per descrivere la superficie? Ossia, quando mi devo costruire lo Jacobiano non verrebbe lo stesso una matrice $3x3$?
${(x=rhocostheta) , (y=rhosintheta), (z=z):}$
per cui
$J=((costheta, - rhosintheta, 0),(sintheta, rhocostheta, 0),(0, 0, 1))$
Negli esempi fatt a scuola(solo quello della sfera
) lo Jacobiano era una $3x2$, così a questo punto io potevo costruirmi il vettore normale come prodotto vettoriale dei 2 vettori con le componenti delle 2 colonne della matrice.
Sarò scemo io, ma non riesco proprio a capire come fare..
${(x=rhocostheta) , (y=rhosintheta), (z=z):}$
per cui
$J=((costheta, - rhosintheta, 0),(sintheta, rhocostheta, 0),(0, 0, 1))$
Negli esempi fatt a scuola(solo quello della sfera
) lo Jacobiano era una $3x2$, così a questo punto io potevo costruirmi il vettore normale come prodotto vettoriale dei 2 vettori con le componenti delle 2 colonne della matrice.Sarò scemo io, ma non riesco proprio a capire come fare..
Io credo che le coordinate cilindriche siano la soluzione migliore, come suggerito dal best of moderator 
mentre r varia da 0 a R e $\theta$ da 0 a $2\pi$ la z varia in funzione della sua parametrizzazione in coordinate cilindriche
mentre r varia da 0 a R e $\theta$ da 0 a $2\pi$ la z varia in funzione della sua parametrizzazione in coordinate cilindriche
"ELWOOD":
Io credo che le coordinate cilindriche siano la soluzione migliore, come suggerito dal best of moderator
mentre r varia da 0 a R e $\theta$ da 0 a $2\pi$ la z varia in funzione della sua parametrizzazione in coordinate cilindriche
Scusa ma non capisco come rappresentare la z..
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo