Integrale superficiale
Ciao a tutti. Qualche consiglio su come impostare questo problema?
Sia \( S=\{(x,y,z):x^2+y^2+z^2=16, x+y+z\leq1\} \). Calcolare \( \displaystyle\int_{S}\sqrt{x^2+y^2+z^2}dS \).
Visto che la prima condizione è una sfera di centro l'origine e raggio 4, cercavo di migliorare la seconda condizione ruotando l'insieme in modo da rendere il vettore normale dei piani $x+y+z\leq 1$ coincidente con l'asse z. Non so se possa essere utile.
Ho provato a cambiare strategia e usare coordinate sferiche ma la condizione sui piani viene infernale.
Potreste darmi una mano?
Grazie mille a tutti!
Sia \( S=\{(x,y,z):x^2+y^2+z^2=16, x+y+z\leq1\} \). Calcolare \( \displaystyle\int_{S}\sqrt{x^2+y^2+z^2}dS \).
Visto che la prima condizione è una sfera di centro l'origine e raggio 4, cercavo di migliorare la seconda condizione ruotando l'insieme in modo da rendere il vettore normale dei piani $x+y+z\leq 1$ coincidente con l'asse z. Non so se possa essere utile.
Ho provato a cambiare strategia e usare coordinate sferiche ma la condizione sui piani viene infernale.
Potreste darmi una mano?
Grazie mille a tutti!
Risposte
Grazie mille! Appena riesco rifaccio i conti e se ho dei dubbi riscrivo qui.
Come avrai visto ultimamente sto cercando di farmi un po' di esami di analisi II per Ingegneria Chimica.
Questo era il testo di un esercizio di una prova. Non sono per niente facili. Grazie ancora!
Come avrai visto ultimamente sto cercando di farmi un po' di esami di analisi II per Ingegneria Chimica.
Questo era il testo di un esercizio di una prova. Non sono per niente facili. Grazie ancora!
La distanza fra l'origine e il piano è $1/sqrt(3)$
Ruotando sfera e piano, S diventa $S^{\prime}={(x,y,z):x^2+y^2+z^2=16, z<=1/sqrt(3)}$
Ruotando sfera e piano, S diventa $S^{\prime}={(x,y,z):x^2+y^2+z^2=16, z<=1/sqrt(3)}$
"TeM":
così l'integrale è banale
Diventa "superficiale" come da titolo. LOL
P.S. Comunque resta che all'esame uno debba saperlo impostare per scriverlo sul foglio...poi risolve quello semplice...e infine mette il risultato. In questo caso userei addirittura le formule geometriche e non farei l'integrale.
"Bokonon":
La distanza fra l'origine e il piano è $1/sqrt(3)$
Ruotando sfera e piano, S diventa $S^{\prime}={(x,y,z):x^2+y^2+z^2=16, z<=1/sqrt(3)}$
A questo punto $S'$ lo parametrizzo nel seguente modo
\( \phi: \begin{cases} x=\sqrt{16-z^2}\cos{\theta} \\ y=\sqrt{16-z^2}\sin{\theta} \\ z=z \end{cases} \quad\theta\in[0,2\pi],z\in[-4,2/3]\)
La matrice jacobiana risulta essere \( \begin{pmatrix} \frac{-z}{\sqrt{16-z^2}}\cos{\theta} & -\sqrt{16-z^2}\sin{\theta} \\ \frac{-z}{\sqrt{16-z^2}\sin{\theta}} & \sqrt{16-z^2}\cos{\theta} \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \)
Calcolo \( \|\phi_z\times\phi_\theta\|=4 \).
Allora \( \displaystyle\int_S\sqrt{x^2+y^2+z^2}dS=\int_0^{2\pi}\int_{-4}^{2/3}4\ \sqrt{(16-z^2)\cos^2{\theta}+(16-z^2)\sin^2{\theta}+z^2}dz d\theta=\int_0^{2\pi}\int_{-4}^{2/3}16 dz d\theta=\frac{448\pi}{3} \)
Vi risulta corretto?
"TeM":
Hai commesso un errore: \(-4 \le z \le \frac{1}{\sqrt{3}}\); così facendo il risultato
coinciderà con quello sopra ottenuto, come giusto che sia.
Grazie mille a tutti!!
Non so perché ho messo $2/3$ al posto di $1/sqrt(3)$.
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