Integrale sulla formula ricorrente di rodriguez
Salve a tutti
mi sono incagliato mentre studiavo questo integrale
$A_l=(2l+1) \int_0^1 P_l(x) dx$
dove Pl è il l-esimo polinomio di Legendre. Il libro (jackson-elettrodinameica classica pag 97) mi dice che si risolve utilizzando la formula ricorsiva di Rodriguez:
$P_l(x)=1/(2^l l!) d^l/(dx^l)(x^2-1)^l$ tuttavia se sostituisco nell'integrale ottengo che $A_l=(2l+1)/(2^l l!)[ d^(l-1)/(dx^(l-1)) (x^2-1)^l]_0^1$.
Ora o c'è un modo differente di affrontare l'integrale ed io lo ignoro oppure abbiamo spostato il problema nel capire che cosa fa $(x^2-1)^l$ derivato l-1 volte.... come devo procedere?
grazie
mi sono incagliato mentre studiavo questo integrale
$A_l=(2l+1) \int_0^1 P_l(x) dx$
dove Pl è il l-esimo polinomio di Legendre. Il libro (jackson-elettrodinameica classica pag 97) mi dice che si risolve utilizzando la formula ricorsiva di Rodriguez:
$P_l(x)=1/(2^l l!) d^l/(dx^l)(x^2-1)^l$ tuttavia se sostituisco nell'integrale ottengo che $A_l=(2l+1)/(2^l l!)[ d^(l-1)/(dx^(l-1)) (x^2-1)^l]_0^1$.
Ora o c'è un modo differente di affrontare l'integrale ed io lo ignoro oppure abbiamo spostato il problema nel capire che cosa fa $(x^2-1)^l$ derivato l-1 volte.... come devo procedere?
grazie
Risposte
Forse è utile usare un'altra espressione per i polinomi di Legendre, che deriva dall'applicazione della formula del binomio di Newton nell'espressione che hai riportato.
Ottieni così [tex]$P_l(x) = \frac{1}{2^l} \sum_{k=0}^{\lfloor l/2 \rfloor} (-1)^k \begin{pmatrix}2l-2k\\l\end{pmatrix}\begin{pmatrix}l\\k\end{pmatrix} x^{l-2k}$[/tex]
A questo punto, dato che hai una somma di un numero finito di termini, integri termine a termine.
Ottieni così [tex]$P_l(x) = \frac{1}{2^l} \sum_{k=0}^{\lfloor l/2 \rfloor} (-1)^k \begin{pmatrix}2l-2k\\l\end{pmatrix}\begin{pmatrix}l\\k\end{pmatrix} x^{l-2k}$[/tex]
A questo punto, dato che hai una somma di un numero finito di termini, integri termine a termine.
mai vista prima.....comunque se l è dispari l'estremo della somma non è naturale...es P3 significa somma fino a 3/2 mi sembra vada bene solo se l è pari....tieni presente che quel passaggio deriva dall'approssimazione di un'onda quadra dispari quindi dovrebbe essere somma di polinomi dispari.
dovrebbe venire $A_l=(-1/2)^((l-1)/2)((2l+1)(l-2)!!)/(2((l+1)/2)!)$
dovrebbe venire $A_l=(-1/2)^((l-1)/2)((2l+1)(l-2)!!)/(2((l+1)/2)!)$
difatti come estremo c'è [tex]$\Bigl\lfloor \frac{l}{2} \Bigr\rfloor$[/tex] ovvero l'approssimazione all'intero più vicino verso il basso, quindi con [tex]$l = 3$[/tex] l'estremo della somma è [tex]$1$[/tex]
cmq... http://mathworld.wolfram.com/LegendrePolynomial.html equazione 32
cmq... http://mathworld.wolfram.com/LegendrePolynomial.html equazione 32
ok... poniamo di usare la serie tuttavia risolvendo l'integrale ottieni una serie che rappresenta
$A_l=(2l+1)/2^l \sum_(k=0)^(l/2)(-1)^k ((2l-2k)!)/(k!(l-k)!(l-2k)!(l-2k+1))$ ora però come manipolo la serie per ottenere il risultato che ho postato? oppure me la devo tenere così perché non c'è modo di ricavarla ?
$A_l=(2l+1)/2^l \sum_(k=0)^(l/2)(-1)^k ((2l-2k)!)/(k!(l-k)!(l-2k)!(l-2k+1))$ ora però come manipolo la serie per ottenere il risultato che ho postato? oppure me la devo tenere così perché non c'è modo di ricavarla ?
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