Integrale su una linea in coordinate polari
Ciao ragazzi, ho una domanda su un esercizio di integrali di linea.
Premetto che non ne abbiamo mai fatti a lezione di questo tipo, quindi sto andando un po con gli strumenti che mi ritrovo.
Questo è il problema:
Calcolare $\int_{\gamma} (x^2+y^2)^(1/4)ds$ Lungo $\gamma$ cardioide di eq. polare $\rho=1+cos(\theta) ,\theta\in[0,2pi]$
Dal momento che passare la cardioide in coordinate cartesiane diventa un po' problematico (a livello di conti), avevo pensato di applicare gauss-green dato che la curva è regolare
quindi:
\(\displaystyle \int_{\gamma} (x^2+y^2)^{(1/4)}ds=\iint_{D}\frac{y}{2}(x^2+y^2)^{(-3/4)}dxdy \) dove D è "l'interno della cardioide" e passando in coordinate polari:
\(\displaystyle \iint_{D}\frac{y}{2}(x^2+y^2)^{(-3/4)}dxdy=\int_0^{2\pi}d\theta(\int_0^{1+cos(\theta)}\frac{(\rho)^2}{2}\sin(\theta)\rho^{-3/2}d\rho)\)
ma svolgendo i conti mi viene come risultato 0, mentre dovrebbe essere $2\sqrt(2)\pi$
Dove sbaglio? Si può applicare G-G? O esiste un metodo piu semplice?
Premetto che non ne abbiamo mai fatti a lezione di questo tipo, quindi sto andando un po con gli strumenti che mi ritrovo.
Questo è il problema:
Calcolare $\int_{\gamma} (x^2+y^2)^(1/4)ds$ Lungo $\gamma$ cardioide di eq. polare $\rho=1+cos(\theta) ,\theta\in[0,2pi]$
Dal momento che passare la cardioide in coordinate cartesiane diventa un po' problematico (a livello di conti), avevo pensato di applicare gauss-green dato che la curva è regolare
quindi:
\(\displaystyle \int_{\gamma} (x^2+y^2)^{(1/4)}ds=\iint_{D}\frac{y}{2}(x^2+y^2)^{(-3/4)}dxdy \) dove D è "l'interno della cardioide" e passando in coordinate polari:
\(\displaystyle \iint_{D}\frac{y}{2}(x^2+y^2)^{(-3/4)}dxdy=\int_0^{2\pi}d\theta(\int_0^{1+cos(\theta)}\frac{(\rho)^2}{2}\sin(\theta)\rho^{-3/2}d\rho)\)
ma svolgendo i conti mi viene come risultato 0, mentre dovrebbe essere $2\sqrt(2)\pi$
Dove sbaglio? Si può applicare G-G? O esiste un metodo piu semplice?
Risposte
la formula di Gauss-Green non si può applicare ad integrali del tipo
$ int_(gamma)f(x,y) ds $
ma solo ad integrali del tipo
$ int_(+gamma)f(x,y) dy $
o
$ int_(+gamma)f(x,y) dx $
$ int_(gamma)f(x,y) ds $
ma solo ad integrali del tipo
$ int_(+gamma)f(x,y) dy $
o
$ int_(+gamma)f(x,y) dx $
Scusate per il ritardo! Grazie per le risposte a entrambi!
@Tem: Non ci avevo pensato, effettivamente era più semplice del previsto. Mi sono perso in un bicchiere d'acqua
@raf85: Hai ragione pure tu. Probabilmente in un raptus di follia,avendo appena fatto le formule di GG, mi è venuto da applicarle quando in effetti non è proprio possibile farlo
@Tem: Non ci avevo pensato, effettivamente era più semplice del previsto. Mi sono perso in un bicchiere d'acqua
@raf85: Hai ragione pure tu. Probabilmente in un raptus di follia,avendo appena fatto le formule di GG, mi è venuto da applicarle quando in effetti non è proprio possibile farlo
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