Integrale su una curva (arco di circonferenza)!
Salve a tutti, stavo rivedendo qualche esercizio per l'esame e tra quelli già fatti e velocemente liquidati c'era questo:
Nel primo quadrante sia $ gamma $ l'arco della circonferenza di centro (1,0) e raggio 1 compreso tra le rette $y=x$ e $y=0$ e percorso in senso antiorario. Calcolare $ int_(gamma) y/x^2 dx $
all'inizio avevo semplicemente sostituito x=rcost e y=rsint, calcolato il ds che risultava uguale a rdt e integrato tra 0 e pi/2 ma riguardandolo noto che c'è qualcosa che non quadra. Innanzitutto nella sostituizione x non sarebbe dovuto essere più propriamente 1+rcost? In secondo luogo ho provato a risolvere l'integrale con wolfram ma mi dice che non converge e da ciò ne deduco che probabilmente ho dato per scontato qualcosa.
Cosa c'è che non va? :/ ringrazio in anticipo per le risposte!
Nel primo quadrante sia $ gamma $ l'arco della circonferenza di centro (1,0) e raggio 1 compreso tra le rette $y=x$ e $y=0$ e percorso in senso antiorario. Calcolare $ int_(gamma) y/x^2 dx $
all'inizio avevo semplicemente sostituito x=rcost e y=rsint, calcolato il ds che risultava uguale a rdt e integrato tra 0 e pi/2 ma riguardandolo noto che c'è qualcosa che non quadra. Innanzitutto nella sostituizione x non sarebbe dovuto essere più propriamente 1+rcost? In secondo luogo ho provato a risolvere l'integrale con wolfram ma mi dice che non converge e da ciò ne deduco che probabilmente ho dato per scontato qualcosa.
Cosa c'è che non va? :/ ringrazio in anticipo per le risposte!
Risposte
Ciao!
Io lo avrei svolto così.. hai una circonferenza di centro $(1,0)$ e raggio $1$ quindi in forma parametrica ottieni:
$x=cost + 1$ e $y= sent$
L'integrale andrai a calcolarlo da $0$ a $pi/2$ in quanto hai la limitazione delle due rette..
Fatto questo allora ottieni
$int_(0)^(pi/2) (sen^2t)/(cost+1)$ l'integrale risulta essere uguale a $x-senx$ che andrà calcolato tra $0$ e $pi/2$
Fai la sostituzione ed ottieni $pi/2-1$
La cosa difficile è calcolare l'integrale per sostituzione.. il resto dei passaggi dovrebbe essere giusto.
Ciao
Io lo avrei svolto così.. hai una circonferenza di centro $(1,0)$ e raggio $1$ quindi in forma parametrica ottieni:
$x=cost + 1$ e $y= sent$
L'integrale andrai a calcolarlo da $0$ a $pi/2$ in quanto hai la limitazione delle due rette..
Fatto questo allora ottieni
$int_(0)^(pi/2) (sen^2t)/(cost+1)$ l'integrale risulta essere uguale a $x-senx$ che andrà calcolato tra $0$ e $pi/2$
Fai la sostituzione ed ottieni $pi/2-1$
La cosa difficile è calcolare l'integrale per sostituzione.. il resto dei passaggi dovrebbe essere giusto.
Ciao
La sostituzione suggerita da floppeyes è giusta, così come la limitazione per $t$. L'integrale da calcolare, tuttavia, è il seguente
$\int_0^{\pi/4}\frac{\sin t}{(1+\cos t)^2}\ (-\sin t)\ dt=-\int_'^{\pi/4}\frac{\sin^2 t}{(1+\cos t)^2}$
$\int_0^{\pi/4}\frac{\sin t}{(1+\cos t)^2}\ (-\sin t)\ dt=-\int_'^{\pi/4}\frac{\sin^2 t}{(1+\cos t)^2}$
Ciao!
Scusa è vero ho letto male il testo.. ho visto $y^2$ al posto di $y$
Ciao
Scusa è vero ho letto male il testo.. ho visto $y^2$ al posto di $y$
Ciao
Grazie mille per la risposta! Quindi avevo ragione a dire che sarebbe stato giusto mettere $x=rho cost +1$. Ma la $ rho $ si toglie? Nel senso che vale 1? Perchè in molti esercizi svolti con il professore lui tendeva a lasciarla per poi semplificarla una volta sostituita nell'integrale. Per quanto riguarda l'intervallo di integrazione, qual è quello corretto? Floppyes ha detto tra 0 e pi/2, ciampax tra 0 e pi/4 
Ultima cosa, il ds che risulta sarebbe quello che voi avete scritto come $(−sint) dt$?
Ultima cosa, il ds che risulta sarebbe quello che voi avete scritto come $(−sint) dt$?
Guarda quello che ho scritto io.
1) la $\rho$ è inutile: sei su un cerchio del quale sai che $\rho=1$; tra l'altro il lasciarla, secondo me, è un errore (a meno che uno non scriva subito che $\rho$ è costante;
2) l'intervallo è $[0,\pi/4]$: mi era sembrato che anche floppeyes avesse scritto questo;
3) lì non c'è $ds$ ma $dx$: in realtà questo integrale non è di prima specie, come si potrebbe pensare, ma di seconda. Infatti se consideri il campo vettoriale $F=(f,0)$ dove $f$ è la tua funzione, l'integrale lo puoi riscrivere nella forma
$\int_\gamma F\times (dx,dy)$
(Tali integrali poi sono correlati alla integrazione delle forme differenziali, e puoi anche pensare di stare integrando la forma $\omega=f\ dx$).
1) la $\rho$ è inutile: sei su un cerchio del quale sai che $\rho=1$; tra l'altro il lasciarla, secondo me, è un errore (a meno che uno non scriva subito che $\rho$ è costante;
2) l'intervallo è $[0,\pi/4]$: mi era sembrato che anche floppeyes avesse scritto questo;
3) lì non c'è $ds$ ma $dx$: in realtà questo integrale non è di prima specie, come si potrebbe pensare, ma di seconda. Infatti se consideri il campo vettoriale $F=(f,0)$ dove $f$ è la tua funzione, l'integrale lo puoi riscrivere nella forma
$\int_\gamma F\times (dx,dy)$
(Tali integrali poi sono correlati alla integrazione delle forme differenziali, e puoi anche pensare di stare integrando la forma $\omega=f\ dx$).
Alla luce di quanto avete detto mi sono sorti un sacco di dubbi!
Di solito negli esercizi del mio professore quando capita di incontrare un integrale in $ ds $ tendiamo sempre a trovarlo utilizzando la formula $ sqrt(x'^2+y'^2) $ in questo caso avremmo (mantenendo la $ rho $) $ sqrt(rho^2sin^2t+rho^2cos^2t)dt=rhodt$, assumendo di aver sostituito $ x=rhocost $ e $ y=rhosint $.
Solitamente poi cerchiamo (parlo al plurale perchè siamo io e un branco di colleghi confusi da questo esercizio) gli estremi di integrazione ti $ rho $ e $ t $(oppure $ theta $)
Mi potete dare definizioni di $ rho $ e $ theta $? In questo caso $ rho $ che intervalli dovrebbe avere?
Se non mi sono spiegato posso riportare l'esempio di un altro esercizio che si dovrebbe risolvere in modo simile, ditemi voi!
Di solito negli esercizi del mio professore quando capita di incontrare un integrale in $ ds $ tendiamo sempre a trovarlo utilizzando la formula $ sqrt(x'^2+y'^2) $ in questo caso avremmo (mantenendo la $ rho $) $ sqrt(rho^2sin^2t+rho^2cos^2t)dt=rhodt$, assumendo di aver sostituito $ x=rhocost $ e $ y=rhosint $.
Solitamente poi cerchiamo (parlo al plurale perchè siamo io e un branco di colleghi confusi da questo esercizio) gli estremi di integrazione ti $ rho $ e $ t $(oppure $ theta $)
Mi potete dare definizioni di $ rho $ e $ theta $? In questo caso $ rho $ che intervalli dovrebbe avere?
Se non mi sono spiegato posso riportare l'esempio di un altro esercizio che si dovrebbe risolvere in modo simile, ditemi voi!
Una curva è un ente geometrico 1 dimensionale, ergo deve dipendere da un solo parametro. Se lasci $\rho$ ti rendi conto da te che hai 2 parametri, e in tal caso quello che parametrizzi è una superficie. Nella circonferenza di raggio $R$ fissato, devi porre $\rho=R$, mentre $\theta\in[0,2\pi)$ rappresenta la variazione angolare. Se invece consideri il cerchio di raggio $R$, allora avrai stessa variazione per $\theta$ mentre $\rho\in[0,R]$ (ovviamente sto pensando ad un cerchio/circonferenza di centro l'origine).
Inoltre, quello che dici per il calcolo degli integrali curvilinei è vero se l'integrale è del tipo
$\int_\gamma f(x,y)\ ds$
e in tal caso, detta $\gamma(t)=(x(t),y(t))$ con $t\in[a,b]$ la parametrizzazione della curva si ha
$\int_a^b f(x(t),y(t))\ \sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\ dt$
Ma se hai l'integrale curvilineo di seconda specie
$\int_\gamma (f(x,y)\ dx+g(x,y)\ dy)$
(che è un integrale di forma differenziale) allora si ha
$\int_a^b [f(x(t),y(t))\cdot x'(t)+g(x(t),y(t))\cdot y'(t)]\ dt$
Inoltre, quello che dici per il calcolo degli integrali curvilinei è vero se l'integrale è del tipo
$\int_\gamma f(x,y)\ ds$
e in tal caso, detta $\gamma(t)=(x(t),y(t))$ con $t\in[a,b]$ la parametrizzazione della curva si ha
$\int_a^b f(x(t),y(t))\ \sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}\ dt$
Ma se hai l'integrale curvilineo di seconda specie
$\int_\gamma (f(x,y)\ dx+g(x,y)\ dy)$
(che è un integrale di forma differenziale) allora si ha
$\int_a^b [f(x(t),y(t))\cdot x'(t)+g(x(t),y(t))\cdot y'(t)]\ dt$
Ragazzi scusate è colpa mia, ho sbagliato a scrivere, ecco perchè non ci capivamo.. me ne sono accorto solo adesso..
In realtà l'integrale considerato è $ int_(gamma) y/x^2 ds $
io invece ve l'ho scritto con il dx.
Stando così le cose vi ripropongo le stesse domande chiedendovi ancora scusa per la perdita di tempo
In realtà l'integrale considerato è $ int_(gamma) y/x^2 ds $
io invece ve l'ho scritto con il dx.
Stando così le cose vi ripropongo le stesse domande chiedendovi ancora scusa per la perdita di tempo
Cambia solo la scrittura dell'integrale: se guardi il mio post precedente, devi usare la prima definizione che ti ho dato, usando come parametrizzazione $\gamma(t)=(\cos t,\sin t),\ t\in[0,\pi/4]$.
Okei grazie mille! Ultima domanda rapida: perchè l'intervallo è $ [0, pi/4] $ e non $ [0, pi/2] $? Tracciando il grafico ho una bisettrice del primo quadrante che però interseca la circonferenza nel punto in cui rispetto alla retta $ y=0 $ l'angolo della circonferenza va da $ 0 $ a $ pi/2 $. In definitiva quando cerco gli estremi in questo tipo di esercizi a quale angolo mi devo riferire?
Perché sono un cretino e continuo a scrivere $\pi/4$ al posto di $\pi/2$.... e me ne sono accorto solo adesso!
Quindi in definitiva abbiamo: $ int_(0)^(pi/2) sint/(1+cost)^2=sint(1+cost)^-2=(1+cost)^-1/1=1/(1+cost)=1/(1+cos(pi/2))-1/(1+cos(0))=1/2 $ Andata?
ehhhh.... sì, anche se ti sei scordato i vari pezzi. 
Ragazzi quindi non c'è bisogno sommare all'integrale la primitiva nel punto finale meno quella del punto iniziale (ovviamente sommare o sottrarre se il verso di percorrenza della mia parametrizzazione è coerente o no col verso dell'esercizio)?
Io devo calcolare l'integrale curvilineo su una curva gamma di -x dy , dove gamma è data dall'arco di cinconferenza di centro (4,0) e raggio 1 , che va dal punto A (4,1) al punto B (4, -1). come lo risolvereste?????????? grazie mi aiutereste a confrontare la risoluzione con la mia fatta all'esame!!!!!!!!!!!!!!
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