Integrale su una curva
Ho un problema su questo esercizio:
Si consideri il campo vettoriale F definito su $ RR ^2 $ \ {(0,0)}
F(x,y)= $ (-3x^3-xy^2)/(sqrt(x^2+y^2)) , (x^2y+3y^3)/(sqrt(x^2+y^2)) $
F è un vettore, quindi ha due componenti ( non riesco a mettere le parentesi grandi).
Ammettendo che il campo sia conservativo calcolarne l'integrale sulla curva :
a(t)=(t , t^2 ) con t appartenente all'intervallo [1, 2]
Secondo me ci sono due strade:
1) trovare il potenziale cercandosi una primitiva che derivata rispetto alla x dia la prima componente, mentre derivata rispetto a y dia la seconda, e poi calcolarsi il valore del potenziale agli estremi della curva.
2) calcolarsi l'integrale sulla curva nel metodo standard, ovvero calcolando l'integrale della funzione valutata sulla curva, moltiplicato la derivata della curva.
Il problema è che nel caso 1) non riesco a trovare una primitiva immediata, quindi il primo metodo lo scarterei. Nel 2) non riesco a risolvere l'integrale che viene fuori, dato che risulta l'integrale di un polinomio di sesto grado diviso per la radice di un polinomio di secondo grado.
Qualcuno a qualche suggerimento?
Grazie.
Si consideri il campo vettoriale F definito su $ RR ^2 $ \ {(0,0)}
F(x,y)= $ (-3x^3-xy^2)/(sqrt(x^2+y^2)) , (x^2y+3y^3)/(sqrt(x^2+y^2)) $
F è un vettore, quindi ha due componenti ( non riesco a mettere le parentesi grandi).
Ammettendo che il campo sia conservativo calcolarne l'integrale sulla curva :
a(t)=(t , t^2 ) con t appartenente all'intervallo [1, 2]
Secondo me ci sono due strade:
1) trovare il potenziale cercandosi una primitiva che derivata rispetto alla x dia la prima componente, mentre derivata rispetto a y dia la seconda, e poi calcolarsi il valore del potenziale agli estremi della curva.
2) calcolarsi l'integrale sulla curva nel metodo standard, ovvero calcolando l'integrale della funzione valutata sulla curva, moltiplicato la derivata della curva.
Il problema è che nel caso 1) non riesco a trovare una primitiva immediata, quindi il primo metodo lo scarterei. Nel 2) non riesco a risolvere l'integrale che viene fuori, dato che risulta l'integrale di un polinomio di sesto grado diviso per la radice di un polinomio di secondo grado.
Qualcuno a qualche suggerimento?
Grazie.
Risposte
Già il
denominatore mi fa pensare di passare a coordinate polari nell'integrale.
denominatore mi fa pensare di passare a coordinate polari nell'integrale.
Per applicare il metodo 1) dovresti prima verificare che la derivata rispetto a $y$ della prima componente sia uguale alla derivata rispetto a $x$ della seconda componente. Se questa condizione si verifica, per integrare potresti riscrivere la seconda componente, ad esempio, nel modo seguente
[tex]$\frac{x^2y+3y^3}{\sqrt{x^2+y^2}}=y\cdot\frac{x^2+3y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}=y\left(\frac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{2y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)=y\sqrt{x^2+y^2}+\frac{2y^3}{\sqrt{x^2+y^2}}$[/tex]
ed integrare questa funzione, il cui primo addendo è "immediato" mentre per il secondo puoi usare l'integrazione per parti.
Se invece volessi usare il secondo metodo, ti assicuro che l'integrale non è affatto proibitivo: inoltre forse non hai semplificato, ma a denominatore ottieni
[tex]$\sqrt{t^2+t^4}=t\sqrt{1+t^2}$[/tex]
(dal momento che $t>0$ e quindi le cose si semplificano.
Prova e fammi sapere.
[tex]$\frac{x^2y+3y^3}{\sqrt{x^2+y^2}}=y\cdot\frac{x^2+3y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}=y\left(\frac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{2y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)=y\sqrt{x^2+y^2}+\frac{2y^3}{\sqrt{x^2+y^2}}$[/tex]
ed integrare questa funzione, il cui primo addendo è "immediato" mentre per il secondo puoi usare l'integrazione per parti.
Se invece volessi usare il secondo metodo, ti assicuro che l'integrale non è affatto proibitivo: inoltre forse non hai semplificato, ma a denominatore ottieni
[tex]$\sqrt{t^2+t^4}=t\sqrt{1+t^2}$[/tex]
(dal momento che $t>0$ e quindi le cose si semplificano.
Prova e fammi sapere.
"ciampax":
Per applicare il metodo 1) dovresti prima verificare che la derivata rispetto a $y$ della prima componente sia uguale alla derivata rispetto a $x$ della seconda componente. Se questa condizione si verifica, per integrare potresti riscrivere la seconda componente, ad esempio, nel modo seguente
[tex]$\frac{x^2y+3y^3}{\sqrt{x^2+y^2}}=y\cdot\frac{x^2+3y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}=y\left(\frac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{2y^2}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)=y\sqrt{x^2+y^2}+\frac{2y^3}{\sqrt{x^2+y^2}$[/tex]
ed integrare questa funzione, il cui primo addendo è "immediato" mentre per il secondo puoi usare l'integrazione per parti.
Se invece volessi usare il secondo metodo, ti assicuro che l'integrale non è affatto proibitivo: inoltre forse non hai semplificato, ma a denominatore ottieni
[tex]$\sqrt{t^2+t^4}=t\sqrt{1+t^2}$[/tex]
(dal momento che $t>0$ e quindi le cose si semplificano.
Prova e fammi sapere.
grazie per la risposta. Potresti essere un po' più specifico ? La formula che mi hai scritto non viene visualizzata.
Ecco, ora si vede (mi ero scordato una parentesi graffa!)
Ok grazie mille, mi viene fuori tutto e giusto! 
Ottimo.
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