Integrale su superficie
Ciao!
Mi sono trovata di fronte a questo esercizio a risposta multipla:
"Dati l'insieme $ S=\{(x,y,z): \ \ x^2+e^{x^2+z^2}-y^2+z^2=1, \ \ y\ge 0, \ x^2+z^2\le 5 \} $ e la funzione $ f(x,y)= e^{ax+3z^2}+|x^2yz^5|, $
Scegli un'alternativa:
a) l'insieme S è una superficie di rotazione e anche una superficie cartesiana e $ \int_Sf\,d\sigma=4 \int_{S\cap\{(x,y,z): \ \ x, \, z\ge0\}}f\,d\sigma $ per ogni valore di a
b) $ \int_Sf\,d\sigma=2 \int_{S\cap\{(x,y,z): \ \ z\ge0\}}f\,d\sigma $ per ogni valore di a, ma non è detto che $ \int_Sf\,d\sigma=4 \int_{S\cap\{(x,y,z): \ \ x,\, z\ge0\}}f\,d\sigma $ per ogni a
c) Per a positivi, in genere si avrà $ \int_Sf\,d\sigma\ne 2 \int_{S\cap\{(x,y,z): \ \ z\ge0\}}f\,d\sigma $ e anche $ \int_Sf\,d\sigma\ne4 \int_{S\cap\{(x,y,z): \ \ x,\, z\ge0\}}f\,d\sigma $
d) Esistono sicuramente dei valori di a per cui $ \int_Sf\d\sigma=0 $
e) l'insieme S è una superficie di rotazione, ma non una superficie cartesiana e $ \int_Sf\,d\sigma=4 \int_{S\cap\{(x,y,z): \ \ x, \, z\ge0\}}f\,d\sigma $ per ogni valore di a
Non ho mai incontrato una superficie del genere e non riesco a visualizzarla.
Qualcuno potrebbe darmi una mano?
Grazie
Mi sono trovata di fronte a questo esercizio a risposta multipla:
"Dati l'insieme $ S=\{(x,y,z): \ \ x^2+e^{x^2+z^2}-y^2+z^2=1, \ \ y\ge 0, \ x^2+z^2\le 5 \} $ e la funzione $ f(x,y)= e^{ax+3z^2}+|x^2yz^5|, $
Scegli un'alternativa:
a) l'insieme S è una superficie di rotazione e anche una superficie cartesiana e $ \int_Sf\,d\sigma=4 \int_{S\cap\{(x,y,z): \ \ x, \, z\ge0\}}f\,d\sigma $ per ogni valore di a
b) $ \int_Sf\,d\sigma=2 \int_{S\cap\{(x,y,z): \ \ z\ge0\}}f\,d\sigma $ per ogni valore di a, ma non è detto che $ \int_Sf\,d\sigma=4 \int_{S\cap\{(x,y,z): \ \ x,\, z\ge0\}}f\,d\sigma $ per ogni a
c) Per a positivi, in genere si avrà $ \int_Sf\,d\sigma\ne 2 \int_{S\cap\{(x,y,z): \ \ z\ge0\}}f\,d\sigma $ e anche $ \int_Sf\,d\sigma\ne4 \int_{S\cap\{(x,y,z): \ \ x,\, z\ge0\}}f\,d\sigma $
d) Esistono sicuramente dei valori di a per cui $ \int_Sf\d\sigma=0 $
e) l'insieme S è una superficie di rotazione, ma non una superficie cartesiana e $ \int_Sf\,d\sigma=4 \int_{S\cap\{(x,y,z): \ \ x, \, z\ge0\}}f\,d\sigma $ per ogni valore di a
Non ho mai incontrato una superficie del genere e non riesco a visualizzarla.
Qualcuno potrebbe darmi una mano?
Grazie
Risposte
La tua superficie e' questa.
Non tiene conto di $y>0$ e $x^2+z^2 < 5$
Nelle formule puoi individuare una struttura "radiale" dalla presenza di $x^2+z^2$ che possiamo riscrivere come un raggio al quadrato $\rho^2$.
Quest integrale $ \int_Sf\,d\sigma=4 \int_{S\cap\{(x,y,z): \ \ x, \, z\ge0\}}f\,d\sigma $
ti dovrebbe dare l'idea che se prendi la superficie complessiva, l'integrale dovrebbe essere 4 volte quella di un solo ottante, che e' individuato dall'integrale a destra.
Comunque la risposta e' b)
La a) e' sbagliata perche' $f(x,y,z) \ne f(-x,y,z)$
La c) e' sbagliata perche' $f(x,y,z) = f(x,y,-z)$, quindi il primo integrale della risposta e' corretto col segno di uguale.
La d) e' sbagliata perche' $f(x,y,z) > 0$ ovunque.
La e) e' sbagliata perche' e' s. cartesiana e l'integrale non e' corretto.
Non tiene conto di $y>0$ e $x^2+z^2 < 5$
Nelle formule puoi individuare una struttura "radiale" dalla presenza di $x^2+z^2$ che possiamo riscrivere come un raggio al quadrato $\rho^2$.
Quest integrale $ \int_Sf\,d\sigma=4 \int_{S\cap\{(x,y,z): \ \ x, \, z\ge0\}}f\,d\sigma $
ti dovrebbe dare l'idea che se prendi la superficie complessiva, l'integrale dovrebbe essere 4 volte quella di un solo ottante, che e' individuato dall'integrale a destra.
Comunque la risposta e' b)
La a) e' sbagliata perche' $f(x,y,z) \ne f(-x,y,z)$
La c) e' sbagliata perche' $f(x,y,z) = f(x,y,-z)$, quindi il primo integrale della risposta e' corretto col segno di uguale.
La d) e' sbagliata perche' $f(x,y,z) > 0$ ovunque.
La e) e' sbagliata perche' e' s. cartesiana e l'integrale non e' corretto.
"Quinzio":
La tua superficie e' questa.
Non tiene conto di $y>0$ e $x^2+z^2 < 5$
Nelle formule puoi individuare una struttura "radiale" dalla presenza di $x^2+z^2$ che possiamo riscrivere come un raggio al quadrato $\rho^2$.
Quest integrale $ \int_Sf\,d\sigma=4 \int_{S\cap\{(x,y,z): \ \ x, \, z\ge0\}}f\,d\sigma $
ti dovrebbe dare l'idea che se prendi la superficie complessiva, l'integrale dovrebbe essere 4 volte quella di un solo ottante, che e' individuato dall'integrale a destra.
Comunque la risposta e' b)
La a) e' sbagliata perche' $f(x,y,z) \ne f(-x,y,z)$
La c) e' sbagliata perche' $f(x,y,z) = f(x,y,-z)$, quindi il primo integrale della risposta e' corretto col segno di uguale.
La d) e' sbagliata perche' $f(x,y,z) > 0$ ovunque.
La e) e' sbagliata perche' e' s. cartesiana e l'integrale non e' corretto.
Grazie mille, chiarissimo!
Potresti dirmi che software hai usato per rappresentare la funzione?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo