Integrale su sfera

[lukath]

Salve a tutti, avrei un problema con questo integrale... devo calcolare, $\forall\bar{x_0}=(x_0,y_0,z_0)$ e con $r$ fissato,

$\int\int_S e^(-(x^2 + y^2 + z^2))dS'$ dove $S:=\{\bar(x)\in RR^3 | |\bar(x)-\bar(x_0)|=r\}$.

Ovviamente per $\bar(x_0)=0$ è molto semplice, ma se $\bar(x_0)\ne 0$ non capisco proprio come fare... utilizzando le coordinate sferiche escono termini che non hanno primitiva elementare, peggio ancora con le coordinate cartesiane. Come posso fare?

[gugo82]

Qual è il testo completo dell'esercizio?

[dissonance]

"TeM": "ci si ferma"

Secondo me invece qualcosa si può fare. Dopo un cambiamento di variabile, il problema è calcolare questo integrale sulla sfera unitaria:
\[I(x_0)=
\iint_{\{|x|^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2=1\}} e^{-|x+x_0|^2}\, dS(x).\]
Sviluppando nell'esponenziale si ottiene
\[
I(x_0)=\iint e^{-|x|^2}e^{-2x\cdot x_0}e^{-|x_0|^2}\, dS(x)=e^{-1-|x_0|^2}\iint e^{-2x\cdot x_0}\, dS(x).\]
Da qui si vede che \(I(x_0)\) non cambia se si applica una rotazione a \(x_0\). Perciò uno può scegliere \(x_0=|x_0|e_3\) (dove \(e_z=(0,0,1)\) ) e si riduce a calcolare
\[
\iint e^{-2|x_0|x_3}\, dS(x_1, x_2, x_3).\]
E questo non è difficile perché si può usare la formula
\[
dS(x_1, x_2, x_3)=dx_3 ds(x_1, x_2), \]
dove \(ds\) è l'elemento di lunghezza della circonferenza unitaria nel piano \(x_1, x_2\).

Il risultato finale è
\[
I(x_0)=2\pi e^{1-|x_0|^2}\int_{-1}^1 e^{-2|x_0|x_3}\, dx_3 = 2\pi e^{-1-|x_0|^2}\frac{\sinh(2|x_0|)}{|x_0|}.\]

[dissonance]

Ho riletto il mio post precedente e mi rendo conto che è un po' criptico (dovuto al fatto che è scritto un po' di fretta). Inoltre, io ho erroneamente considerato che l'integrale è sulla sfera di raggio 1, mentre l'OP richiede la sfera di raggio $r$ qualunque. Credo che il risultato del mio ultimo post sia corretto, e che il caso di raggio $r$ qualunque si possa ottenere con pochissimo sforzo ulteriore, ma @lukath: per qualsiasi dubbio non esitare a scrivere e vedo di spiegarmi meglio.