Integrale su $RR^n$ di $||x||^(-alpha)$
Di nuovo ciao!
Questo post è per una sorta di conforto morale su una domanda da Analisi 1 che mi tedia.
Esistono degli $alpha>0$ per cui $int_(RR^n)1/(||x||^alpha)<+infty$??
Io risponderei di no perchè vicino a $0$ ho bisogno di $alphan$ e quindi globalmente non ho possibili scelte di $alpha$. Dico male?
Per $int_(RR^n)1/((1+||x||^2)^alpha)$ mi sembra che le cose cambino. Ho dimostrato che in $RR^2$ l'integrale converge per $p>1$. Qualcuno mi può confortare dicendomi che vale in generale $p>n-1$??
Grazie mille!
Questo post è per una sorta di conforto morale su una domanda da Analisi 1 che mi tedia.
Esistono degli $alpha>0$ per cui $int_(RR^n)1/(||x||^alpha)<+infty$??
Io risponderei di no perchè vicino a $0$ ho bisogno di $alpha
Per $int_(RR^n)1/((1+||x||^2)^alpha)$ mi sembra che le cose cambino. Ho dimostrato che in $RR^2$ l'integrale converge per $p>1$. Qualcuno mi può confortare dicendomi che vale in generale $p>n-1$??
Grazie mille!
Risposte
1) Chi è $p$?
2) Il secondo integrale converge per $\alpha > n/2$ (puoi usare coordinate polari per dimostrarlo).
2) Il secondo integrale converge per $\alpha > n/2$ (puoi usare coordinate polari per dimostrarlo).
Sì scusa per $p$ intendevo $alpha$, ho cambiato lettera qualche volta.. adessso provo!
Sul primo dico bene?? Il dubbio mi viene dalla soluzione fondamentale del calore
$Gamma(x,t)=(4pit)^(-n/2) e^(-(||x||^2)/(4t))$.
Per risolvere il problema con sorgente Holderiana ha alcune stime, te ne faccio vedere una:
$Gamma=(4pi)^(-n/2) cdot e^(-(||x||^2)/(4t)) cdot ((||x||^2)/(4t))^(n/2-epsilon) cdot 1/(t^epsilon ||x||^(n-2 epsilon))< c cdot 1/(t^epsilon ||x||^(n-2 epsilon))$
La mia prof ha quindi concluso che $1/(t^epsilon ||x||^(n-2 epsilon))$ è integrabile su $RR^n times (0,+infty)$ per ogni $epsilon<1$. Ma non mi ci ritrovo..
Sul primo dico bene?? Il dubbio mi viene dalla soluzione fondamentale del calore
$Gamma(x,t)=(4pit)^(-n/2) e^(-(||x||^2)/(4t))$.
Per risolvere il problema con sorgente Holderiana ha alcune stime, te ne faccio vedere una:
$Gamma=(4pi)^(-n/2) cdot e^(-(||x||^2)/(4t)) cdot ((||x||^2)/(4t))^(n/2-epsilon) cdot 1/(t^epsilon ||x||^(n-2 epsilon))< c cdot 1/(t^epsilon ||x||^(n-2 epsilon))$
La mia prof ha quindi concluso che $1/(t^epsilon ||x||^(n-2 epsilon))$ è integrabile su $RR^n times (0,+infty)$ per ogni $epsilon<1$. Ma non mi ci ritrovo..
Quella che hai scritto sembra più una stima in un intorno di $(0,0)$ più che all'infinito; in tal caso è corretto concludere che c'è convergenza per $0<\epsilon < 1$.
La funzione $\frac{1}{t^{\epsilon} ||x||^{n-2\epsilon}}$ non è però integrabile su $\mathbb{R}^n\times (0,+\infty)$ per ogni $\epsilon < 1$; lo è però su qualsiasi insieme limitato del tipo $B_R(0)\times (0,T)$.
La funzione $\frac{1}{t^{\epsilon} ||x||^{n-2\epsilon}}$ non è però integrabile su $\mathbb{R}^n\times (0,+\infty)$ per ogni $\epsilon < 1$; lo è però su qualsiasi insieme limitato del tipo $B_R(0)\times (0,T)$.
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