Integrale su funzioni semplici

[Injo]

Sulle dispense fornite da un mio professore ho trovato questa questione:

Supponiamo di avere $x_1 \[
\rho(x):=\begin{cases}
0 &\text{, se } x\in I_0 \\
\lambda_1 &\text{, se } x\in I_1\\
\lambda_1+\lambda_2 &\text{, se } x\in I_2\\ \vdots &,\; \vdots \\
\lambda_1+\cdots +\lambda_m &\text{, se } x\in I_m
\end{cases}
\]

Quindi viene detto che $\int_{-\infty}^{+\infty} d\rho(x) = \sum_{k=1}^m \lambda_k$.

Questa cosa non riesco a capirla. Ho capito che gli unici intervalli che mi danno una misura non nulla sono quelli contenenti almeno un punto di discontinuità (in modo da avere $\mu(a,b)=\rho(b)-\rho(a)\ne 0$) ma, lavorandoci un po' sopra, mi sembra che la relazione data si abbia per una fuzione definita
\[
\rho_1(x)=\begin{cases}
0 &\text{, se } x\in I_0\\
\lambda_1 &\text{, se } x\in I_1\\
\lambda_2 &\text{, se } x\in I_2\\
\vdots &,\; \vdots \\
\lambda_m &\text{, se } x\in I_m
\end{cases}
\]
e non come la $\rho$ che mi è stata data.

Potreste aiutarmi a fare un po' di chiarezza?

PS: Non so perchè ma la funzione non me lo scrive con la parentesi grande anche se ho copiato la sintassi dalla guida Dovrebbe comunque essere comprensibile.

[gugo82]

Se lo vedi da un punto di vista distribuzionale è tutto semplice.
Infatti, detto \(\operatorname{u}(\cdot)\) il gradino unitario, hai:
\[
\rho (x):= \sum_{k=1}^m \lambda_k\ \operatorname{u} (x-x_k)
\]
quindi:
\[
\rho^\prime (x) =\sum_{k=1}^m \lambda_k\ \delta (x-x_k)
\]
e perciò:
\[
\int_{-\infty}^\infty \text{d} \rho (x) = \int_{-\infty}^\infty \rho^\prime (x)\ \text{d} x =\sum_{k=1}^m \lambda_k\ \int_{-\infty}^\infty \delta (x-x_k)\ \text{d} x = \sum_{k=1}^m \lambda_k\; .
\]
Se non usi le distribuzioni, devi fare esplicitamente il conto con le somme di Riemann-Stiltjes, ed è solo questione di contacci...

[Injo]

Premetto che purtroppo non ho mai trattato in modo approfondito questi argomenti (vengono dati per buoni in un corso di Fisica e quindi sto cercando di capirci qualcosa per conto mio). Riguardandoci ho pensato di approcciare il problema in questo modo:

Se considero, ad esempio, un intervallo $J=[a,b]$ contenente $x_1$ e $x_2$, allora vedo
$\int_J d\rho(x) = \int_{a}^{x_1-\epsilon} d\rho(x) + \int_{x_1-\epsilon}^{x_1+\epsilon} d\rho(x) + \int_{x_1+\epsilon}^{x_2-\epsilon} d\rho(x) + \int_{x_2-\epsilon}^{x_2+\epsilon} d\rho(x) + \int_{x_2+\epsilon}^{b} d\rho(x)$
con un $\epsilon$ piccolo in modo che $[x_i-\epsilon,x_i+\epsilon]$ contenga solo l'$i$-esimo punto di discontinuità di $\rho$. Ma allora:
$\int_{a}^{x_1-\epsilon} d\rho(x) = \int_{x_1+\epsilon}^{x_2-\epsilon} d\rho(x) = \int_{x_2+\epsilon}^{b} d\rho(x) = 0$ perchè non vi sono punti di discontinuità in questi intervalli.
$\int_{x_1-\epsilon}^{x_1+\epsilon} d\rho(x) = \rho(x_1+\epsilon) - \rho(x_1-\epsilon) = \lambda_1$.
$\int_{x_2-\epsilon}^{x_2+\epsilon} d\rho(x) = \rho(x_2+\epsilon) - \rho(x_2-\epsilon) = \lambda_1+\lambda_2-\lambda_1=\lambda_2$.
Così $\int_J d\rho(x) = \lambda_1 + \lambda_2$.
In questo modo effettivamente torna la proprietà data, ovvero $\int_{\mathbb R} d\rho(x) = \sum_{k=1}^m \lambda_k$.

È corretto come ragionamento?