Integrale stesso ordine

[anymore87]

salve,non riesco a svolgere questo integrale indefinito $ int ( x^2)/(x^2+x+4) $
mi aiutereste gentilmente?grazie

[FainaGimmi]

Innanzitutto, alla fine dell'integrale manca un $dx$.
Conosci la regola dei fratti semplici?

[anymore87]

già,quel dx lo dimentico spesso...
diciamo
il delta del denominatore è <0,come faccio a dividerla?

[salvozungri]

Potresti fare in questo modo:

$x^2/(x^2+x+4) = (x^2+x+4-x-4)/(x^2+x+4) = 1- (x+4)/(x^2+x+4)$
Integrando l'ultima espressione e utilizzando qualche proprietà dell'integrale, arrivi alla soluzione. Provaci e fammi sapere

200 post

[FainaGimmi]

Da dove ti ha consigliato Mathematico, con la regola dei fratti semplici lo dovresti risolvere in un baleno

[anymore87]

allora per il secondo integrale con la regola dei fattori a me viene: $int (x+4)/(x^2+x+4) dx= A/(x^2+x+4)+(Bx)/(x^2+x+4)$ essendo un polinomio di secondo grado con delta negativo. Poi trovo che $A=4 e B=1$ a questo punto mi vengon fuori due integrali $4int 1/(x^2+x+4)dx+int x/(x^2+x+4)dx$. arrivato a questo punto inizia la mia crisi,nel senso che non sò più andare avanti...come proseguo??ma sopratutto,ho fatto bene fin qui?grazie mille anticipatamente

[Sk_Anonymous]

Ragiona così:

$\int x/(x^2+x+4)dx=\int(x+1/2)/(x^2+x+4)dx-\int(1/2)/(x^2+x+4)dx$; a questo punto sei a posto, perchè sono tutti integrali elementari.

[salvozungri]

La regola degli integrali fratti in realtà non era necessaria, bastava applicare la linearità dell'integrale:
$\int (x+4)/(x^2+x+4) dx =\int x/(x^2+x+4)+4/(x^2+x+4)dx={"per linearità"} =\int x/(x^2+x+4)dx +\int4/(x^2+x+4) dx$
Ora un trucchetto che può essere utile è il seguente:

$\int x/(x^2+x+4)dx +\int4/(x^2+x+4) dx = \int (x+1/2-1/2)/(x^2+x+4)dx +\int4/(x^2+x+4) dx= \int (x+1/2)/(x^2+x+4)dx -\int (1/2)/(x^2+x+1) dx+\int 4/(x^2+x+4) dx= \int (x+1/2)/(x^2+x+4) dx +(7/2)\int 1/(x^2+x+4) dx$

Considera ora $\int (x+1/2)/(x^2+x+4) dx$, osserva che la funzione integranda, a meno di una costante, è della forma: $(f'(x))/f(x)$ e dunque l'integrale è immediato (caso mai hai problemi fammi sapere).

Dobbiamo ora risolvere:
$(7/2)\int 1/(x^2+x+4) dx$

Devi determinare $\alpha$ e $\beta$, valori reali, tali che
$x^2+x+4= (x+\alpha)^2+\beta^2$. Hai quindi il sistema:

${(2\alpha=1),(\alpha^2+\beta^2= 4):}$
fatto ciò sostituisci e .... Continua da solo , un piccolo suggerimento, pensa alla derivata dell'arcotangente

Edit: Porca pupazza, ho sbagliato approccio, adesso ho corretto

[anymore87]

Mathematico: Problemi?? Anymore: un mare di problemi!!! ...scherzo,x il primo integrale va bene,poi sapere che sia con i fratti semplici che per la linearità mi è uscita la stessa cosa mi conforta...ho visto anche un metodo che sostituiva nella funzione integrale il parametro $t=x+b/(2a) $ (con b,a coefficienti del polinomio) e arrivo sempre a questo punto!perfetto!!! Ora per quanto riguarda l integrale $ int 1/(X^2+x+4) dx$ ho fatto così: $int 1/((x+1/2)^2+15/4)dx -> int 1/(15/4((x+1/2)^2/(15/4)+1))dx-> 4/15*sqrt(15/4)int1/(((x+1/2)/sqrt(15/4))^2+1)d((x+1/2)/sqrt(15/4))->30/sqrt15arctgx((sqrt15*2x+1)/15)$.......scusami se ho saltato qualche passaggio ma è stato complicato già inserire tutte ste cose x me! potrebbe essere corretto?
P.S avanti a $7/2$ c'è un meno o un più?grazie mille ancora

[salvozungri]

"anymore87":Mathematico: Problemi?? Anymore: un mare di problemi!!! ...scherzo[...]

ah ah ah, effettivamente ho seri problemi, odio fare i conti !!

Ad ogni modo non mi torna il tuo risultato , ci dev'essere qualche errore di costanti tra il secondo e terzo passaggio.
Dovrebbe essere:

$int 1/((x+1/2)^2+15/4)dx -> int 1/(15/4((x+1/2)^2/(15/4)+1))dx= 4/15 int 1/(((x+1/2)/\sqrt(15/4))^2+1) dx$
Procedo per sostituzione:
$t=(x+1/2)/\sqrt(15/4)=> dt =2 \sqrt(15)/15 dx $. L'integrale diventa:
$(4/15)*(15/(2\sqrt(15))) \int 1/(t^2+1) dt = 2 \sqrt(15)/15 arctan(t)+c$, ma $t= (1+2x)/\sqrt(15)$ e dunque:


$(7/2)\int 1/(x^2+x+4)dx= (7/2)* 2 \sqrt(15)/15 arctan((1+2x)/\sqrt(15))+c = 7/\sqrt(15) arctan((1+2x)/\sqrt(15))+c$.

P.S avanti a $7/2$ c'è un meno o un più?grazie mille ancora

E' un più.

Cocludendo e scrivendo per bene il risultato dovrebbe essere:
$\int x^2/(x^2+x+4) dx = x-7/\sqrt(15) arctan((1+2x)/\sqrt(15))-1/2 log(x^2+x+4)+C$ (nota che il valore assoluto al logaritmo non è necessario perchè $x^2+x+4>0$ per ogni $x\in RR$)

Se riscontri errori, o imprecisioni, oppure non è chiaro fatti sentire ok?

[anymore87]

perfetto!!!il mio errore è dovuto al fatto che nella radice che moltiplica $4/15$ non ho preso anche il quattro...nel senso: $4/15 * sqrt (15/4)$ diventa $ 4/15* sqrt(15)/2$ e quindi $(2 *sqrt15)/15$ che moltiplicato per $7/2$ fa $7/2*(2 *sqrt15)/15$ ->$7/sqrt15$
Grazie mille x l aiuto!!!