Integrale sessione esami università

[passot]

Ad un esame di analisi I è stato dato il seguente integrale che con un procedimento molto lungo ho risolto, chiedo ai frequentatori del forum se vi è una soluzione più semplice di quella che io ho adottato. Grazie per l'attenzione

$\int(log^3(x)-5)/(3x*(log^2(x)-1))dx$

Io ho risolto con la sostituzione di $\log(x)=t$, e per la definizione di log ottengo: $\e^t=x$, differenziando per trovare $\dx$ ho $\e^t*dt=dx$.
Sostituendo e semplificando (e se non ho sbagliato) ricavo l'integrale:

$\(1/3)*int(t^3-5)/(t^2-1)dt$

dividendo $\(t^3-5)/(t^2-1)$ ottengo $\t+(t-5)/(t^2-1)$

per la parte t l'integrale è immediato, invece la parte $\(t-5)/(t^2-1)$ occorrerà dividerlo in due frazioni che mi portano ad avere i due integrali:

$\2*int1/(1-t)dt$ e $\3*int1/(1+t)dt$

in definitiva e sperando di essere stato chiaro ottengo integrando:

$\(1/3)*[(t^2/2)-2*log(1-t)+3*log(1+t)]+c$

A tal punto non mi dilungo ulteriormente basta applicare le proprietà dei logaritmi e se non erro ottengo:

$\(1/3)*[t^2/2+log((1+t)^3/(1-t)^2)]+c$

fatta la sostituzione ottengo in deinitiva:

$\(1/3)*[log^2(x/2)+log((1+log(x))^3/(1-log(x))^2)]$

Avete visto quanto ho impiegato?. Mi chiedo, vi chiedo non c'è una via più breve per la soluzione, visto che il tempo a disposizione per questo, altri due limiti di media difficoltà, uno studio di funzione, un altro integrale niente male e lo studio del carattere di due serie era di due ore e mezza?
Grazie ancora per la vostra attenzione. Quello che posso proporre, se nulla osta da parte del moderatore, che tale esercizio, con lo svolgimanto corretto, possa essere messo tra gli esercizi proposti nel sito alla voce integrali.

[gugo82]

Non credo ci sia una via più breve.

[Steven11]

Quello che posso proporre, se nulla osta da parte del moderatore, che tale esercizio, con lo svolgimanto corretto, possa essere messo tra gli esercizi proposti nel sito alla voce integrali.

Ciao, grazie per il pensiero.

Tuttavia stavo vedendo una cosa.
Con questo programma
http://integrals.wolfram.com/index.jsp
lui dà un altro risultato.
Ora non mi pare che le due primitive (la tua e la sua) siano equivalenti (ho provato a sostituire $e^2$).
Non vorrei, data l'ora, aver sbagliato.

Anzi, se qualcuno ha Derive a portata di mano (io non ora purtroppo) mi farebbe un piacere se verificasse l'identità tra la soluzione di passot e quella che sputa Derive stesso.

A presto.

[@melia]

Io veramente mi sono fatta i conti a mano e l'unica cosa che mi lascia perplessa è l'ultima sostituzione, fino a qui sono d'accordo
$\(1/3)*[t^2/2+log((1+t)^3/(1-t)^2)]+c$
ma la sostituzione corretta non è
$\(1/3)*[log^2(x/2)+log((1+log(x))^3/(1-log(x))^2)]$

bensì questa
$\(1/3)*[(log^2x)/2+log((1+log(x))^3/(1-log(x))^2)]+c$

[Albertus16]

Anche io ho ricontrollato. Nell'ultima sostituzione, come dice @melia, si è introdotto $1/2$ nell'argomento di $log^2(x)$.

L'esercizio, per il resto, è corretto.

Ho controllato anche con il Derive. Questo è il risultato: $(-2LN(LN(x) - 1) + 3LN(LN(x) + 1) + LN(x)^2/2)/3$.

Il risultato è identico, Derive non ha usato le proprietà dei logaritmi per ridurli tutti e due in uno solo, e ha lasciato fuori dall'argomento le costanti $-2$ e $3$ invece di sfruttarle come esponenti dell'argomento dei logaritmi.

[passot]

albertus ed @melia avete ragione, ma è solo un errore veniale che sicuramente non comporta concettualmante il procedimento. Anzi se proprio vogliamo essere precisi, avrei dovuto indicare il valore assoluto dell'argomento log. In ogni caso quello che mi preme sapere se qualcuno può torvare un procedimento più rapido. Grazie, ancora a tutti per l'attenzione e le esaustive risposte.

[Steven11]

Ok, l'esercizio comparirà a breve nella sezione apposita.

Grazie a passot per la collaborazione.