Integrale seno "anomalo"

[Alex_2017]

Buongiorno,
in questi giorni pre esame, i dubbi sono tantissimi per cui mi scuso per il disturbo e chiedo ancora una volta aiuto (anche perchè l'altra volta il vostro aiuto è stato preziosissimo, sia in termini culturali che di voto ).

Mi sono imbattutto in un esercizio la cui risoluzione cercando in rete mi riporta alla serie sinc che noi non abbiamo studiato.

Per cui il mio problema è come risolvo un integrale di questo tipo?

$\int_0^1 (sensqrt(t))/t dt$

L'eserciziario da cui ho preso l'esercizio utilizza un sistema che non riesco a capire se sia "legale" o meno, ovvero applica una sorta di limite direttamente all'interno dell'integrale

Nello specifico propone questa risoluzione (punto 1):
$\int_0^1 (sensqrt(t))/t dt = \int_0^1 (sensqrt(t))/sqrt(t) 1/sqrt(t) dt $
QUesto punto è chiaramente comprensibile!!!

Dopodichè dice che per $ t -> 0 $ abbiamo che $ (sensqrt(t))/sqrt(t) $ è asintotico ad $1$ per cui rimane $1/sqrt(t) dt $ che tende a $+00$ (punto 2)

Quindi mi riporta a questo affermando che (punto 3):
$\int_0^1 1/sqrt(t) dt $ converge dato che $\int 1/sqrt(t) dt = 2 sqrt(t) + c $

Non riesco proprio a capire il giochetto applicato al punto 2.

[kobeilprofeta]

$sqrt(t)=w => t=w^2 => dt=2*dw$
$t=1 => w=sqrt(1)=1$
$t=0 => w=sqrt(0)=0$

$\int_0^1 frac{2}{w} dw=2*[log|w|]_0^1=...$

[anto_zoolander]

"Alex_SSRI":...Nello specifico propone questa risoluzione (punto 1):
$\int_0^1 (sensqrt(t))/t dt = \int_0^1 (sensqrt(t))/sqrt(t) 1/sqrt(t) dt $
QUesto punto è chiaramente comprensibile!!!

Dopodichè dice che per $ t -> 0 $ abbiamo che $ (sensqrt(t))/sqrt(t) $ è asintotico ad $1$ per cui rimane $1/sqrt(t) dt $ che tende a $+00$ (punto 2) ...

...Non riesco proprio a capire il giochetto applicato al punto 2.

In poche parole l'esercizio ti sta chiedendo di verificare se l'integrale sia convergente o meno(anche perché è una pazzia pensare di integrare quella cosa con i classici metodi.

$int_0^1 (sensqrt(t))/t dt$

in $0$ abbiamo una discontinuità di seconda specie, in quanto:

$lim_(t->0^+)sin(sqrtt)/t=+infty$

arrivando al passaggio 1..

$int_0^1 (sensqrt(t))/t dt=int_0^1 (sensqrt(t))/sqrtt*1/sqrttdt$

ora il secondo passaggio dice la seguente cosa:

tu sai che $lim_(t->0^+)sin(sqrtt)/sqrtt=1$

ovvero che per $t->0^+$

$sin(sqrtt)$\(\displaystyle \sim \)$sqrtt$

questo vuol dire che per $t->0^+$ le due funzioni si comportano allo stesso modo.
Siccome a noi interessa solo sapere se l'integrale converge o meno, possiamo dire che:

se $int_0^1 sqrt(t)/sqrt(t)*1/sqrt(t) dt$ converge allora converge anche l'altro.

questo perché? perché sicuramente $int_a^1 (sensqrt(t))/t dt$ con $a>0$ converge poiché l'area è rappresentata da una porzione di piano finita, ci interessa solo sapere cosa succede per $a->0^+$
Ma se per $a->0^+$ due funzioni si comportano allo stesso modo, allora se una è integrabile, lo sarà anche l'altra.
(è ovvio che dietro siano dei teoremi)

$int_0^1 1/sqrt(t) dt= int_0^1 t^(-1/2) dt=[2sqrtt]_(0)^(1)=2$

il risultato è finito dunque l'integrale converge.

[Alex_2017]

Perfetto. Grazie.
La spiegazione mi sembra chiarissima, stampo e me la studio.
Anche perchè mi sembra chiaro che debba rivedermi i teoremi che ci sono dietro ai passaggi di cui sopra
Grazie mille

[gugo82]

"anto_zoolander":[quote="Alex_SSRI"]...Nello specifico propone questa risoluzione (punto 1):
$\int_0^1 (sensqrt(t))/t dt = \int_0^1 (sensqrt(t))/sqrt(t) 1/sqrt(t) dt $
Questo punto è chiaramente comprensibile!!!

Dopodichè dice che per $ t -> 0 $ abbiamo che $ (sensqrt(t))/sqrt(t) $ è asintotico ad $1$ per cui rimane $1/sqrt(t) dt $ che tende a $+00$ (punto 2) ...

...Non riesco proprio a capire il giochetto applicato al punto 2.

In poche parole l'esercizio ti sta chiedendo di verificare se l'integrale sia convergente o meno(anche perché è una pazzia pensare di integrare quella cosa con i classici metodi.[/quote]
Una precisazione.

Integrare quella roba lì non è "una pazzia"... È proprio impossibile, con qualsiasi metodo d'integrazione si voglia procedere.
Questo segue da un risultato non banale sull'integrazione indefinita, detto Teorema di Liouville.

[anto_zoolander]

ah pensavo ci fossero comunque metodi per integrare queste funzioni(sono al 5º liceo, quello che so l'ho imparato solo, oppure grazie a voi). Ad esempio mettendo su Wolfram questo integrale, mi torna un risultato, che però ancora non comprendo. Tipo spunta '$2Si(sqrtx)$' che non ho idea di cosa sia.

[gugo82]

"anto_zoolander":

ah pensavo ci fossero comunque metodi per integrare queste funzioni(sono al 5º liceo, quello che so l'ho imparato solo, oppure grazie a voi). Ad esempio mettendo su Wolfram questo integrale, mi torna un risultato, che però ancora non comprendo. Tipo spunta '$2Si(sqrtx)$' che non ho idea di cosa sia.

Ebbene no, non esiste alcun metodo di integrazione indefinita che permetta di integrare la funzione \(\frac{\sin x}{\sqrt{x}}\)... E d'altra parte tale funzione è in buona compagnia, poiché infatti non sono elementarmente integrabili[nota]Si chiamano elementarmente integrabili le funzioni i cui integrali indefiniti si esprimono come combinazione (somma, differenza, prodotto, quoziente, composizione) di funzioni elementari "di base" (i.e., potenze, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche e loro inverse).[/nota] alcune funzioni (all'apparenza innocue e molto) importanti come \(e^{\pm x^2}\), \(\sin x^2\), \(\cos x^2\), \(\frac{\sin x}{x}\), \(\frac{\cos x}{x}\), \(x^p(1+x^q)^r\) per "molti "valori di $p,q,r$, nonché altre funzioni non elementari della Fisica Matematica.

Del tutto in generale, vale il seguente fatto, che illustra la profonda differenza tra il calcolo degli integrali indefiniti ed il calcolo delle derivate: mentre tutte le funzioni elementari sono derivabili con le usuali regole di derivazione, esistono "molte" funzioni elementari che non sono integrabili con le usuali regole di integrazione (il che è il succo del Teorema di Liouville che citavo prima).
Quindi il problema dell'integrazione indefinita è non solo "più difficile" del problema della derivazione, ma "molte volte" non ammette proprio soluzioni.
Alcuni matematici dicono in proposito: Derivare è bovino, integrare è divino.

Ovviamente, però, data l'importanza della questione, i matematici non si perdono d'animo e cercano stratagemmi per ovviare al problema.
Uno dei "trucchi" consiste nell'ampliare l'orizzonte, introducendo nuove funzioni.[nota]Questa non dovrebbe essere una novità... Infatti, pensa a come sono stati introdotti i numeri interi negativi, i numeri razionali ed i numeri reali: gli interi negativi servono per rendere lecita la sottrazione, che non si può sempre svolgere limitandosi ai numeri naturali; i numeri razionali servono per rendere lecita la divisione (a parte quella per zero, ovviamente), che non si può sempre svolgere negli interi; i numeri reali rendono lecita l'estrazione di radice, che non si può sempre fare nei razionali.[/nota]
Tali funzioni sono usualmente dette funzioni speciali e rendono lecito esprimere con formule sintetiche alcuni integrali che non si possono esprimere in termini di funzioni elementari.
Ad esempio, la funzione speciale \(\operatorname{Si}\), che si chiama seno integrale, è la primitiva della funzione \(\frac{\sin x}{x}\) che si annulla in $0$ (essa non si può esprimere in termini elementari, come già detto), cioè è la funzione integrale:
\[
\operatorname{Si}(x) := \int_0^x \frac{\sin t}{t}\ \text{d} t\; ;
\]
analogamente, la funzione speciale \(\operatorname{erf}\), che si chiama error function, è la primitiva della funzione \(\frac{2}{\sqrt{\pi}} e^{-x^2}\) che si annulla in $0$, cioè è la funzione integrale:
\[
\operatorname{erf}(x) := \frac{2}{\sqrt{\pi}}\ \int_0^x e^{-t^2}\ \text{d} t\; ;
\]
la funzione speciale \(\operatorname{S}\), chiamata integrale di Fresnel in seno, è la primitiva della funzione \(\sin x^2\) che si annulla in $0$, cioè:
\[
\operatorname{S} (x) := \int_0^x \sin t^2\ \text{d} t\; ;
\]
etc...

Il risultato del tuo integrale si spiega usando la regola di integrazione per sostituzione negli integrali definiti: infatti hai:
\[
\int_0^x \frac{\sin \sqrt{t}}{t}\ \text{d} t \stackrel{u=\sqrt{t}}{=} \int_0^{\sqrt{x}} \frac{\sin u}{u^2}\ 2u\ \text{d} u = 2\ \operatorname{Si}\left( \sqrt{x}\right)\; .
\]

[anto_zoolander]

@gugo

Naturalmente il calcolo di queste funzioni non deve essere banale. Se si studiano al primo anno di Math, allora li incontrerò l'anno prossimo ma invece a che ci sono vorrei chiederti se potessi dare un'occhiata a questacosa. A scuola non mi hanno dato risposta.
Comunque grazie mille per la risposta, sei stato chiarissimo

@Alex
Vorrei aggiungere una cosa in merito all'integrale.
Prendo questa disequazione:

$sin(sqrtt)/tleq1/sqrtt => sin(sqrtt)leqsqrtt$

consideriamo $sqrtt$ in radianti.
questa disequazione è assolutamente vera su $0leqsqrttleqpi/2$, per convincersene basta disegnare il primo quadrante, lo spicchio di circonferenza, una semiretta e si dimostra subito che:

$sin(sqrtt)leqsqrttleqtan(sqrtt)$

sarebbe come dire

$sin(alpha)leqalphaleqtan(alpha)$

Dato questo, possiamo impostare questa disequazione[nota]avrei potuto optare per il ragionamento $0leqsin(sqrtt)leq1$ dividendo ambo i membri per $t(ne0)$ da cui si ricava $0leqsin(sqrtt)/tleq1/t$
il problema è che $int_(0)^(1)1/tdt=[ln|t|]_(0)^(1)$ il quale non converge.[/nota]:

$0leqint_(0)^(1)sin(sqrtt)/tdtleqint_(0)^(1)1/sqrttdt$

l'integrale di destra è facilmente integrabile, infatti $int_(0)^(1)1/sqrttdt=[2sqrtt]_(0)^(1)$

$0leqint_(0)^(1)sin(sqrtt)/tdtleqint_(0)^(1)1/sqrttdt=2$

come puoi vedere, è possibile confrontare vari metodi per la convergenza di un integrale. Quello che preferisco è quello del confronto di fatto così sai anche entro quale range di valori converge l'integrale.