Integrale semplice, ma difficile
Ciao a tutti non riesco a risolvere l'integrale generale di e^(-x^2), ho provato a fare una sostituzione ma nn era corretta e nn mi viene in mente quale possa essere una adatta, ho pensato anche a scrivere l'esponenziale come logaritmo naturale di qualcosa, ma nn so farlo...
qualcuno puo' aiutarmi??
Un saluto e un ringraziamento.
Leave them alone bubbachuck,they ain't nothin but bad news
qualcuno puo' aiutarmi??
Un saluto e un ringraziamento.
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Risposte
la funzione non ammette primitiva nell'ambito delle
funzioni elementari, una sua possibile rappresentazione
la si può trovare nelle funzioni analitiche
funzioni elementari, una sua possibile rappresentazione
la si può trovare nelle funzioni analitiche
Dunque, preciso dicendo che il testo dell'integrale era l'integrale improprio, cioè l'integrale da -inf a +inf di e^(-x^2); non so se questo possa invalidare cio' che dici tu Piera...
E queste funzioni analitiche cosa sarebbero??
Thx
Leave them alone bubbachuck,they ain't nothin but bad news
E queste funzioni analitiche cosa sarebbero??
Thx
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so che l'integrale da -inf a +inf di e^(-x^2) vale SQRT(pigreco), ma non chiedermi spiegazioni perchè sono solo un povero studente liceale (anzi, ex-liceale da una decina di ore 
)
)
il testo chiede di calcolare l'integrale improprio o di dire
se l'integrale converge?
se l'integrale converge?
Ah non so io ho scritto solo quello...mmm...probabilmente hai ragione piera bisogna dire se converge o no...ora vedo che riesco a combinare per vedere la convergenza
Leave them alone bubbachuck,they ain't nothin but bad news
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Ehm...in ogni caso nn saprei come fare, perchè dovrei trovare cmq la primitiva...mah che depressione
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per bubba:
se sai fare gli integrali doppi allora ti so dire un metodo per risolvere l'integrale(tra -inf e +inf) di e^(-x^2).
se sai fare gli integrali doppi allora ti so dire un metodo per risolvere l'integrale(tra -inf e +inf) di e^(-x^2).
Si che li so fare gli integrali doppi ma questo esericizio è del corso d analisiA, in cui non si suppone la conoscenza di tali integrali!!
Leave them alone bubbachuck,they ain't nothin but bad news
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Per studiare sta convergenza l'unica cosa che mi viene in mente è dividere l'integrale in somma di due integrali da -inf a 0 e da 0 a +inf, ma il problema rimane dato che nn sono in grado d trovare la primitiva...
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allora ti posto il metodo:
I=int{-inf,+inf}[(e^(-x^2))dx]
I^2=int{-inf,+inf}[(e^(-x^2))dx] * int{-inf,+inf}[(e^(-y^2))dy]
per la formula di riduzione :
I^2=int{R^2}[(e^(-x^2-y^2))dxdy]
cambio di variabile:
I^2=int{0,2pi}{0,+inf}[(e^(-p^2)p)dp dalpha]
I^2=(pi)
I=radq(pi)
radq(pi)=int{-inf,+inf}[(e^(-x^2))dx]
questo metodo l'ho trovato sugli appunti sul sito di lussardi.
ciao *lollo86*
I=int{-inf,+inf}[(e^(-x^2))dx]
I^2=int{-inf,+inf}[(e^(-x^2))dx] * int{-inf,+inf}[(e^(-y^2))dy]
per la formula di riduzione :
I^2=int{R^2}[(e^(-x^2-y^2))dxdy]
cambio di variabile:
I^2=int{0,2pi}{0,+inf}[(e^(-p^2)p)dp dalpha]
I^2=(pi)
I=radq(pi)
radq(pi)=int{-inf,+inf}[(e^(-x^2))dx]
questo metodo l'ho trovato sugli appunti sul sito di lussardi.
ciao *lollo86*
int tra 0 e +infinito di e^(-x^2)dx=
= int tra 0 e 1 di e^(-x^2)dx + int tra 1 e +inf di e^(-x^2)dx
adesso il primo integrale chiaramente converge, il secondo:
osserva che e^(-x^2)<= e^(-x) su [1,+inf) quindi
int tra 1 e +inf di e^(-x^2)dx <=int tra 1 e +inf di e^(-x)dx=e^(-1)
anche il secondo integrale conv. per il criterio del confronto
accade lo stesso su (-inf, 0]
= int tra 0 e 1 di e^(-x^2)dx + int tra 1 e +inf di e^(-x^2)dx
adesso il primo integrale chiaramente converge, il secondo:
osserva che e^(-x^2)<= e^(-x) su [1,+inf) quindi
int tra 1 e +inf di e^(-x^2)dx <=int tra 1 e +inf di e^(-x)dx=e^(-1)
anche il secondo integrale conv. per il criterio del confronto
accade lo stesso su (-inf, 0]
Ok ho capito grazie mille Piera gentilissima!!
Anche lollo86 obviously!
Cya
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Anche lollo86 obviously!
Cya
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Posto qui per nn aprire un altro topic...
propongo un altro esercizio del mio appello di analisiA:
studiare per quali valori di s il seguente integrale converge:
int da 0 a 1 di (7*x^s)/(sen(x))^9
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propongo un altro esercizio del mio appello di analisiA:
studiare per quali valori di s il seguente integrale converge:
int da 0 a 1 di (7*x^s)/(sen(x))^9
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Direi s > 8
Camillo
Camillo
Perchè??
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il punto critico per l'integrale definito improprio è x = 0 , quindi devi studiare come si comporta la funzione nell'intorno destro di 0 .
(sinx)^9 lo puoi approssimare per x che tende a 0 con x ^9 , ok ?
allora la funzione da integrare si approssima con :
1/x^(9-s) perchè l'integrale improprio converga deve essere :
9-s < 1 cioè : s > 8 .
Camillo
(sinx)^9 lo puoi approssimare per x che tende a 0 con x ^9 , ok ?
allora la funzione da integrare si approssima con :
1/x^(9-s) perchè l'integrale improprio converga deve essere :
9-s < 1 cioè : s > 8 .
Camillo
CHe il sin^9 lo approssimo a x^9 ok, quindi semplificando viene:
x^s/x^9 la quale converge finchè il 9 è maggiore della s se non vado errato, e quindi per s<8!!
scusa x^n con n positivo non converge!,mentre 1/(x^n) converge per n positivo
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x^s/x^9 la quale converge finchè il 9 è maggiore della s se non vado errato, e quindi per s<8!!
scusa x^n con n positivo non converge!,mentre 1/(x^n) converge per n positivo
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la funzione 1/x^(9-s) per essere integrabile in 0 deve essere un infinito di ordine < 1, da cui segue quello che ha scritto Camillo.
Sussistono i seguenti criteri di convergenza degli integrali impropri:
(sarò molto sintetico, quindi guarda i teoremi del tuo libro per capire meglio quello che dico)
1) se la funzione è un infinito di ordine < 1 , allora la funzione è integrabile;
esempio: dimostra che la funzione f(x)=1/radice(e^x – 1) è integrabile su [0,1]
2) se la funzione è un infinitesimo per x tende a + inf di ordine >1, allora la f è integr. su [a,+inf)
esempio : la funzione f(x)=arctan(x)/radice(x^3 + x) è integrabile su [1,+inf)? ( si)
Per quali s positivi, la funzione f(x)= 1/(1 – cos x)^s è integrabile su [0,1]?
Per quali s positivi f(x)=x^s /[(x^2 +1)^10] è integrabile su [1, +inf)?
Riporto i risultati del libro:
0< s < 1/2 il primo , 0< s < 19 il secondo.
Prova a farli, magari posta la soluzione, vedrai che qualcuno te li correggerà.
Sussistono i seguenti criteri di convergenza degli integrali impropri:
(sarò molto sintetico, quindi guarda i teoremi del tuo libro per capire meglio quello che dico)
1) se la funzione è un infinito di ordine < 1 , allora la funzione è integrabile;
esempio: dimostra che la funzione f(x)=1/radice(e^x – 1) è integrabile su [0,1]
2) se la funzione è un infinitesimo per x tende a + inf di ordine >1, allora la f è integr. su [a,+inf)
esempio : la funzione f(x)=arctan(x)/radice(x^3 + x) è integrabile su [1,+inf)? ( si)
Per quali s positivi, la funzione f(x)= 1/(1 – cos x)^s è integrabile su [0,1]?
Per quali s positivi f(x)=x^s /[(x^2 +1)^10] è integrabile su [1, +inf)?
Riporto i risultati del libro:
0< s < 1/2 il primo , 0< s < 19 il secondo.
Prova a farli, magari posta la soluzione, vedrai che qualcuno te li correggerà.
Dunque:
1) moltiplico e divido per il denominatore e quindi viene (sqrt(e^x-1))/e^x-1, la quale è asintotica a (e^1/2*x)/(e^x), ora forse mi confondo con le serie, sono sicuro che converge, ma credo di confondermi sul motivo: perchè facendo il limite x->0 viene un numero(1) o perchè lim x->+inf 1/e^(1/2x)=0??
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1) moltiplico e divido per il denominatore e quindi viene (sqrt(e^x-1))/e^x-1, la quale è asintotica a (e^1/2*x)/(e^x), ora forse mi confondo con le serie, sono sicuro che converge, ma credo di confondermi sul motivo: perchè facendo il limite x->0 viene un numero(1) o perchè lim x->+inf 1/e^(1/2x)=0??
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Sbaglio Bubba, o non sai che cos’è un infinito di ordine < 1?
Una funzione f(x) è un infinito di ordine alfa (alfa numero positivo) per x che tende a zero se
limite per x che tende a 0 di |x|^(alfa) * |f(x)| = numero diverso da zero
nell’esercizio si ha :
x^(alfa) /radice( e^x – 1) e va valutata in un intorno destro di 0.
Devo trovare un valore di alfa tale che il limite della funzione per x che tende a 0+ assuma un valore diverso da zero. Il valore è alfa=1/2, infatti si ha:
x^(1/2) /radice( e^x – 1) = radice(x)/ radice( e^x – 1) = radice [x /( e^x – 1) ]
il limite per x che tende a 0 + è radice(1) =1 diverso da zero (nel calcolo del limite ho applicato un noto limite noevole),
quindi alfa = 1/2 è l’ordine di infinito della funzione, è < 1 quindi l’integrale converge
nel secondo esercizio devi sempre valutare x^(alfa) * f(x) per x tende a +inf, viene
alfa =3/2 >1….
Comunque studia prima nel tuo libro gli ordini di infinito/infinitesimo….
Una funzione f(x) è un infinito di ordine alfa (alfa numero positivo) per x che tende a zero se
limite per x che tende a 0 di |x|^(alfa) * |f(x)| = numero diverso da zero
nell’esercizio si ha :
x^(alfa) /radice( e^x – 1) e va valutata in un intorno destro di 0.
Devo trovare un valore di alfa tale che il limite della funzione per x che tende a 0+ assuma un valore diverso da zero. Il valore è alfa=1/2, infatti si ha:
x^(1/2) /radice( e^x – 1) = radice(x)/ radice( e^x – 1) = radice [x /( e^x – 1) ]
il limite per x che tende a 0 + è radice(1) =1 diverso da zero (nel calcolo del limite ho applicato un noto limite noevole),
quindi alfa = 1/2 è l’ordine di infinito della funzione, è < 1 quindi l’integrale converge
nel secondo esercizio devi sempre valutare x^(alfa) * f(x) per x tende a +inf, viene
alfa =3/2 >1….
Comunque studia prima nel tuo libro gli ordini di infinito/infinitesimo….
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