Integrale semplice con radice

[rocco951]

Ciao a tutti..qualcuno mi potrebbe aiutare a risolvere questo semplice integrale : $\int_1^8(√x+1)/(x)dx$ ...a primo impatto,se non erro, non può essere ricondotto ad un integrale immediato ...quindi è consigliabile applicare la sostituzione ponendo √(x+1)=t ?Grazie anticipatamente.

[pilloeffe]

Ciao rocco95,

Sì, per comodità passerei all'integrale indefinito $ \int \sqrt{x + 1}/x \text{d}x $ e porrei $t := sqrt{x + 1} \implies \text{d}t = 1/(2t) \text{d}x $ come giustamente hai pensato.

[rocco951]

Ciao pilloeffe,grazie per la risposta.Il problema è che applicando la sostituzione,arrivato ad un certo punto,non riesco a proseguire . Infatti : $\int(t)/(t^2-1)2tdt$ =
$\2int(t^2)/(t^2-1)dt$ . A questo punto come continuo?

[pilloeffe]

"rocco95":A questo punto come continuo?

Beh, togli e aggiungi $ 1 $ a numeratore e poi scomponi $2/(t^2 - 1) = 1/(t - 1) - 1/(t + 1) $

[rocco951]

Grazie ancora per la risposta pilloeffe; io ho proceduto così : $\2int(t^2)/(t^2-1)dt$ = $\2int(t^2-1)/(t^2-1)dt$+$\int(dt)/(t^2-1)$ ... Giusto? Adesso però come continuo?

[pilloeffe]

"rocco95":Giusto?

No, ti sei dimenticato il $2 $ che moltiplica il secondo integrale:

$ 2 \int(t^2)/(t^2-1)\text{d}t = 2 \int(t^2 - 1 + 1)/(t^2-1)\text{d}t = 2\int \text{d}t + \int 2/(t^2-1)\text{d}t = 2t + \int (1/(t - 1) - 1/(t + 1)) \text{d}t $

[rocco951]

Ah già vero pilloeffe,che sbadato che sono ...perdonami ma è da stamattina che sono a testa bassa a fare esercizi...il risultato alla fine sarà: $\2t+ ln|t-1|-ln|t+1|$ ,giusto?

[pilloeffe]

"rocco95":giusto?

Sì, a meno della costante di integrazione... Poi devi sostituire $t = sqrt{x + 1} $ e calcolare l'integrale definito inizialmente proposto.

[rocco951]

Sisi grazie mille...adesso provo a sostituire e pubblico subito il risultato ...

[gugo82]

Senza fare troppe sostituzioni, tieni presente che $ \int_1^8(sqrt(x+1))/x text(d) x = 2 int_sqrt(2)^3 t^2/(t^2 - 1) text(d) t$.

[rocco951]

Ok grazie mille ad entrambi...chiedo scusa per il ritardo...provando a calcolare l'integrale definito il risultato dovrebbe essere: $2√7+ln√7-1-ln√7-1$ ...ma credo che ci sia qualche errore...

[pilloeffe]

"rocco95":...ma credo che ci sia qualche errore...

Direi proprio di sì...
Per l'integrale indefinito avresti dovuto ottenere il risultato seguente:

$\int sqrt(x + 1)/x \text{d}x = 2 sqrt(x + 1) + ln(sqrt(x + 1) - 1) - ln(sqrt(x + 1) + 1) + c $

Dunque per l'integrale definito inizialmente proposto si ha:

$ \int_1^8 sqrt(x + 1)/x \text{d}x = [2 sqrt(x + 1) + ln(sqrt(x + 1) - 1) - ln(sqrt(x + 1) + 1)]_1^8 = $
$ = 6 + ln(2) - ln(4) - 2sqrt(2) - ln(\sqrt(2) - 1) + ln(sqrt(2) + 1) = $
$ = 6 - 2sqrt(2) + ln\frac{2(sqrt{2} + 1)}{4(\sqrt(2) - 1)} = 6 - 2sqrt(2) + ln\frac{sqrt{2} + 1}{2(\sqrt(2) - 1)} = $
$ = 6 - 2sqrt(2) + ln\frac{(sqrt{2} + 1)^2}{2} = 6 - 2sqrt(2) + 2ln(sqrt{2} + 1) - ln(2) $

[rocco951]

Okok perfetto grazie mille pilloeffe...immaginavo che c'erano grossi errori..mi sono accorto adesso che quando ho cambiato variabile al posto di sostituire √x+1 ,ho sostituito √x-1 ecco perché a me veniva la √7...grazie ancora per l'aiuto...molto gentile