Integrale semplice

[pierooooo]

$\int_0^9log(2+sqrtx)dx$

cambio variabile e pongo $sqrtx=y$
$x=y^2$
$dx=2ydy$

$\intlog(2+y)2ydy$

provo a risolverlo per parti

$log(2+y)y^2-\inty^2/(2+y)$

penso che gia ci sia qualcosa di sbagliato...

[Bisneff]

Non voglio scriver boiate. Io l'ho interpretato così:

$int (1 * log(2+sqrt(x))) = xlog(2+sqrt(x)) - int ((x)/(2+sqrt(x)))$

da qui con un gioco di destrezza spezzo il secondo membro

$xlog(2+sqrt(x)) - int ((x-4)/(2+sqrt(x))) - int ((4)/(2+sqrt(x)))$

e il primo int lo risolvo con

$(((sqrt(x)-2)(sqrt(x)+2))/(2+sqrt(x)))$ ---> semplifichi e vai

Il secondo invece fai la sostituzione

$sqrt(x)+2=t$
$sqrt(x)=t-2$
$x=(t-2)^2$
$dx=2(t-2) dt$

rimetti tutto dentro e spezzi

$4 int ((2t)/(t)) +4*4 int (1/t)$

mi sembra un idea abbastanza accettabile BTW non ne sono certo, quindi gradirei conferme da chi ne capisce di più

Ps. hai la soluzione?

[ciampax]

State procedendo bene entrambi. Solo un appunto: l'integrale è definito, quindi per evitare di dover fare sostituzioni a ritroso per calcolarne il valore, quando operate le sostituzioni fate anche il cambiamento degli estremi. Le sostituzioni che effettuate vanno bene, in quanto state integrando su $[0,9]$ dove la funzione integranda è definita.

[pierooooo]

a tal proposito, per fare il cambio degli estremi... basta che soddisfino l'equazione x=y^2, quindi sono 0 e 81?!
questa cosa non me la ricordo XD

[ciampax]

No: se poni $y=\sqrt{x}$ allora hai $y_1=\sqrt{0}=0,\ y_2=\sqrt{9}=3$.

[Bisneff]

"ciampax":No: se poni $y=\sqrt{x}$ allora hai $y_1=\sqrt{0}=0,\ y_2=\sqrt{9}=3$.

Comunque quella di fare le sostituzioni a ritroso a calcoli fatti non è sbagliata di strada, vero? E' solo più lunga?

[pierooooo]

mi sono incastrato con $\int(y^2/(2+y))dy$

[Bisneff]

"pierooooo":mi sono incastrato con $\int(y^2/(2+y))dy$

$\int(y^2/(2+y))dy=\int(((y^2)-4)/(2+y)dy) + \int(4/(2+y))dy $

guardati il primo si scompone (differenza di quadrati) in $(y-2)(y+2)

da lì mi sembra semplice.

[pierooooo]

ah ecco mi ero dimenticato dei "trucchetti". grazie.