Integrale semplice

[itisscience]

ho problemi con la risoluzione di questo integrale: $ int_()^( ) e^{-(t^2/2))t^3 dt $ .
ho provato a fare la sostituzione $ s=t^2 $ ottenendo $ 1/2int_()^( ) e^{-(s/2))sds $ . allora ho provato ad integrare per parti ma non porta a nulla. il risultato corretto è $ -e^{-t^2/2(t^2+2) $
potete darmi una mano per favore?

[Mephlip]

Ciao! La sostituzione che hai fatto è utile e va bene integrare per parti, derivando $s$ e integrando $e^{-\frac{s}{2}$; forse stai semplicemente sbagliando qualche conto, è molto facile sbagliarli quando si integra per parti (per ovviare ad errori, consiglio di sostituire nuovamente $-\frac{s}{2}=u$).
La soluzione non è corretta (forse hai copiato male sul forum), dovrebbe essere $-e^{-\frac{t^2}{2}}(t^2+2)+c$ con $c\in\mathbb{R}$.

[pilloeffe]

Ciao itisscience,

Conviene generalizzare un po' osservando che l'integrale proposto è del tipo seguente:

$\int x^n e^{ax^2} \text{d}x $

Se $n$ è un numero dispari, l'integrale si può calcolare facilmente. Nel caso particolare $n = 1 $ l'integrale è immediato perché facilmente riconducibile al tipo $\int f'(x) e^{f(x)} \text{d}x = e^{f(x)} + c $
In tal caso si ha:

$\int x e^{ax^2} \text{d}x = e^{ax^2}/(2a) + c $

Per $n = 3 $ integrando una volta per parti si ha:

$\int x^3 e^{ax^2} \text{d}x = (e^{ax^2}(ax^2 - 1))/(2a^2) + c $

Quest'ultimo nel caso particolare $a = -1/2 $ e $x -= t $ è proprio l'integrale proposto e si ha:

$\int t^3 e^{-t^2/2} \text{d}t = (e^{- t^2/2}(- 1/2 t^2 - 1))/(1/2) + c = - e^{- t^2/2}(t^2 + 2) + c $

che è proprio la soluzione che ti ha già scritto Mephlip.
C'è la possibilità di determinare una formula di ricorrenza per $n \ge 3$ dispari, infatti per $n = 2k + 1 \implies k = (n - 1)/2 $, $k \in \NN $, si ha:

$ I_n := \int x^n e^{ax^2} "d"x = \int x^{2k + 1} e^{ax^2} "d"x = \int x^{2k} e^{ax^2} x "d"x = 1/2 \int (x^2)^k e^{ax^2} "d"(x^2) $

Posto $u = x^2 $ e procedendo con una integrazione per parti si ha:

$ I_n = 1/2 \int (x^2)^k e^{ax^2} "d"(x^2) = 1/2 \int u^k e^(au) "d"u = 1/2 [u^k/a e^{au} - k/a \int u^{k - 1} e^{au} "d"u] = $
$ = 1/2 [x^{2k}/a e^{ax^2} - k/a \int x^{2k - 2} e^{ax^2} 2x "d"x] = 1/(2a) x^{n - 1} e^{ax^2} - (n - 1)/(4a) \int x^{(n - 1) - 2} e^{ax^2} 2x "d"x = $
$ = 1/(2a) x^{n - 1} e^{ax^2} - (n - 1)/(2a) \int x^{n - 2} e^{ax^2} "d"x = 1/(2a) x^{n - 1} e^{ax^2} - (n - 1)/(2a) I_{n - 2} $

Quindi in definitiva per $n \ge 3 $ dispari vale la formula di ricorrenza seguente:

[tex]\boxed{ I_n = \dfrac{x^{n - 1}}{2a} e^{ax^2} -\dfrac{n - 1}{2a} I_{n - 2} }[/tex]

Per $n = 3 $ si ha:

$ I_3 = 1/(2a) x^2 e^{ax^2} - 2/(2a) I_1 = 1/(2a) x^2 e^{ax^2} - e^{ax^2}/(2a^2) + c = (e^{ax^2}(ax^2 - 1))/(2a^2) + c $

come si era già ottenuto. Per $n = 5 $ si ha:

$ I_5 = 1/(2a) x^4 e^{ax^2} - 4/(2a) I_3 = 1/(2a) x^4 e^{ax^2} - (e^{ax^2}(ax^2 - 1))/(a^3) + c = (e^{ax^2}(a^2 x^4 - 2ax^2 + 2))/(2a^3) + c $

Per $n = 7 $ si ha:

$I_7 = 1/(2a) x^6 e^{ax^2} - 6/(2a) I_5 = 1/(2a) x^6 e^{ax^2} - 3 (e^{ax^2}(a^2 x^4 - 2ax^2 + 2))/(2a^4) + c = $
$ = (e^{ax^2}(a^3 x^6 - 3a^2 x^4 + 6ax^2 - 6))/(2a^4) + c $

e così via...