Integrale semplice
ciao a tutti
in seguito ad un'equazione differenziele del primo ordine della forma $y'+a(x)y=f(x)$ mi esce da calcolare il seguente integrale che non riesco proprio a svolgere:
$\intx^2/(1+x^2)^(5/2)dx$
L'equazione differenziale di partenza era:
$(y')/3+y/[x(1+x^2)]=1/[x(1+x^2)]$
ho trovato la soluzione dell'omogenea associata e poi mi stavo ricavando $U(x)= \bar y * \gamma (x)$
ma al momento di integrare $\gamma'(x)$ mi è saltato fuori questo integrale. Credo che io mi stia perdendo in un bicchier d'acqua. Spero che qualcuno possa aiutarmi. Grazie a tutti in anticipo.
in seguito ad un'equazione differenziele del primo ordine della forma $y'+a(x)y=f(x)$ mi esce da calcolare il seguente integrale che non riesco proprio a svolgere:
$\intx^2/(1+x^2)^(5/2)dx$
L'equazione differenziale di partenza era:
$(y')/3+y/[x(1+x^2)]=1/[x(1+x^2)]$
ho trovato la soluzione dell'omogenea associata e poi mi stavo ricavando $U(x)= \bar y * \gamma (x)$
ma al momento di integrare $\gamma'(x)$ mi è saltato fuori questo integrale. Credo che io mi stia perdendo in un bicchier d'acqua. Spero che qualcuno possa aiutarmi. Grazie a tutti in anticipo.
Risposte
Stai commettendo qualche errore...Innanzi tutto, nel tuo particolare caso:
$y^{\prime}/(3)+a(x)*y=a(x)$, dunque:
$y^{\prime}/(3*a(x))+y=1$
$dy/dx*1/(3*a(x))+y=1$
Per l'omogenea associata ottengo:
$dy/dx*1/(a(x))+3y=0$
$dy/dx*1/(a(x))=-3y$
$dy/y=-3*1/(x*(1+x^2))dx$
$int1/ydy=-3int1/(x*(1+x^2))dx$
$lny=-3(int1/xdx-intx/(1+x^2)dx)$
$lny=3/2ln(1+x^2)-3lnx$
$lny=ln((1+x^2)^(3/2)/(x^3))$ da cui $y=(1+x^2)^(3/2)/(x^3)$
Per l'integrale particolare è banale poiché poni $\bar y(x)=A$ sostituisci nell'equazione differenziale completa e per confronto troverai $A=1$.
La soluzione globale sarà quindi:
$y=(1+x^2)^(3/2)/(x^3)+1$
$y^{\prime}/(3)+a(x)*y=a(x)$, dunque:
$y^{\prime}/(3*a(x))+y=1$
$dy/dx*1/(3*a(x))+y=1$
Per l'omogenea associata ottengo:
$dy/dx*1/(a(x))+3y=0$
$dy/dx*1/(a(x))=-3y$
$dy/y=-3*1/(x*(1+x^2))dx$
$int1/ydy=-3int1/(x*(1+x^2))dx$
$lny=-3(int1/xdx-intx/(1+x^2)dx)$
$lny=3/2ln(1+x^2)-3lnx$
$lny=ln((1+x^2)^(3/2)/(x^3))$ da cui $y=(1+x^2)^(3/2)/(x^3)$
Per l'integrale particolare è banale poiché poni $\bar y(x)=A$ sostituisci nell'equazione differenziale completa e per confronto troverai $A=1$.
La soluzione globale sarà quindi:
$y=(1+x^2)^(3/2)/(x^3)+1$
Tutto a meno della costante che scaturisce dall'integrazione che sbadatamente e scorrettamente ho omesso...
Mi intrometto... E se volessi calcolare l'integrale scritto all'inizio del topic come dovrei fare?
Ps: ad occhio sono riuscito a trovare la soluzione, ma si tratta piú che altro di tentativi...
Ps: ad occhio sono riuscito a trovare la soluzione, ma si tratta piú che altro di tentativi...
Quando la funzione integranda è del tipo
$$\displaystyle\int x^m\left(ax^n+b\right)^p\,\,dx
$$
dove $a, b$ sono costanti qualunque e $m,n,p$ sono numeri razionali (positivi o negativi), è stato dimostrato dal matematico Čebyšëv, che l'integrale differenziale binomio si razionalizza soltanto nei seguenti tre casi:
$$\displaystyle\int x^m\left(ax^n+b\right)^p\,\,dx
$$
dove $a, b$ sono costanti qualunque e $m,n,p$ sono numeri razionali (positivi o negativi), è stato dimostrato dal matematico Čebyšëv, che l'integrale differenziale binomio si razionalizza soltanto nei seguenti tre casi:
[*:3o3u06vz] se $p,$ è un numero intero ponendo
\begin{align}
x=t^k,\qquad \text{dove $k$ è il $m.c.m.$ dei denominatori di $m$ ed $n;$ }
\end{align} [/*:m:3o3u06vz]
[*:3o3u06vz] se $ \frac{m+1}{n},$ è un numero intero ponendo
\begin{align}
ax^n+b=t^h,\qquad \text{dove $h$ è il denominatore di $p;$}
\end{align} [/*:m:3o3u06vz]
[*:3o3u06vz] se $ \frac{m+1}{n}+p,$ è un numero intero ponendo
\begin{align}
\frac{ax^n+b}{x^n}=t^h,\qquad \text{dove $h$ è il denominatore di $p.$ } \end{align}
[/*:m:3o3u06vz][/list:u:3o3u06vz]
"kobeilprofeta":
Mi intrometto... E se volessi calcolare l'integrale scritto all'inizio del topic come dovrei fare?
Ps: ad occhio sono riuscito a trovare la soluzione, ma si tratta piú che altro di tentativi...
$\intx^2/(1+x^2)^(5/2)dx$
è un integrale binomio
in generale ti posso dire che $ \int x^(\alpha)(a+bx^(\beta))^(\gamma)dx $ con $\alpha, \beta, \gamma\in \mathbb{Q}$
se $ (\alpha+1)/(\beta)\in \mathbb{Z} $
allora si applica questa sostituzione $ a+bx^(\beta)=t^(n) $ ove $n$ è il denominatore di $\gamma$
mentre se $ \gamma + (\alpha+1)/(\beta)\in \mathbb{Z} $
allora si applica questa sostituzione $ t^n=b+(a)/(x^(\beta)) $
grazie a tutti per le risposte mi avete aiutata tanto
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