Integrale secondo Riemman

[fed_27]

Salve mi stavo ripetendo la condizione necessiaria e sufficiente affinche una funzione sia integrabile secondo Riemman

$S(D)-s(D)
poi dice se una funzione è cotinua in un compatto allora è integrabile per riemman

inizia la dimostrazione dicendo che per il teorema di cantor esiste $epsilon>0$ tale che esiste un $delta>0$ tale che $|f(x'')-f(x')| se $|x''-x'| ora dice

per ogni $epsilon>0$ esiste un $delta>0$ $|f(x'')-f(x')| se $|x''-x'|
il (b-a) è di certo l'ampiezza dell'intervallo considerato ma perke ha senso inserirlo li?

allora dice $d=((b-a)/n)
poi salta e dice che se abbiamo una decomposizione $D=(x_1,x_2,....x_(n+1))$
con x_1=a $ x_(n+1)=b$
prendo il generale intevallo $[X_i,X_(i+1)]$
dove l'ampiezza è $d=X_(i+1)-X_i$
poi per weierstrass
esiste in ogni intervallo un minimo ed un massimo
tale che
$min=$inf$f(X_i)=f(x'_i)$
$max=$sup$f(X_i)=f(x''_i)$

dunque $|x''_i -x'_i|<=X_(i+1) - x_i=d
dunque
S(D)-s(D)= $sum d$sup$f(X_i)-sumd$inf$f(X_i)$
arrivando a dire ch e $dsumf(x''_i)-f(x'_i)<=dn(epsilon/(b-a))=(b-a)(epsilon/(b-a))$
ed infine che $dsumf(x''_i)-f(x'_i)<=epsilon$

ma ci sono dei passaggi non chiarissimi sapreste vedere cosa non va bene
grazie

[holmes1]

perkè ha senso..............perche cosi torna un epsilon pulito alla fine del conto!
essendo f continua ed essendo gli [Xi,Xi+1] di lunghezza minore di delta=>che |Sup f - Inf f|
Xi'' e Xi' realizzano risp. il max e min su [Xi,Xi+1] poi S(D)-s(D)

L'integrale di riemann andremme dimenticato dalla civiltà.

Comunque se la memoria non mi inganna esiste un teorema che caratterizza la Riemann integrabilità per funzioni limitate su compatti..
..Una funzione limitata è Riemann integrabile su un compatto se e solo se le sue discontinuità sono un insieme di misura nulla.......



Saluti.

[GIBI1]

Chissà perché ci si ostina a chiamarlo integrale di Riemann , quando l’idea è dell’italianissimo Mengoli , appropriata poi da Cauchy: Riemann ha dato solo "una" condizione necessaria e sufficiente di integrabilità.