Integrale sconosciuto
Stavo dando un occhiata ai vecchi esami di analisi 1 in vista del prossimo apello e ho trovato questo eserizio:
$\int 2^(-(s-b)) dx$
il $-(s-b)$ è elevato alla seconda $(-(s-b))^2$ ma non riuscivo a scriverlo nella formula sopra
da calcolare in "forma concettuale" qualcuno ha qualche idea
? grazie
$\int 2^(-(s-b)) dx$
il $-(s-b)$ è elevato alla seconda $(-(s-b))^2$ ma non riuscivo a scriverlo nella formula sopra
da calcolare in "forma concettuale" qualcuno ha qualche idea
? grazie
Risposte
Ciao
c'è poco da calcolare
[tex]\int 2^{-(s-b)^{2}} dx =2^{-(s-b)^{2}} \int dx= 2^{-(s-b)^{2}} x + C[/tex]
sicuro che non fosse $ds$?
c'è poco da calcolare
[tex]\int 2^{-(s-b)^{2}} dx =2^{-(s-b)^{2}} \int dx= 2^{-(s-b)^{2}} x + C[/tex]
sicuro che non fosse $ds$?
scusami erroraccio mio! l'integrale è in $ds$ non in $dx$ 
devo ammettere che sto faticando anche io a calcolarlo... non credo che sia esprimibile in termini di funzioni elementari
probabilmente bisogna capire che cosa si intenda per "calcolare in forma concettuale"
probabilmente bisogna capire che cosa si intenda per "calcolare in forma concettuale"
No che non è esprimibile: puoi esprimere la funzione integranda al modo seguente:
[tex]$2^{-(s-b)^2}=e^{-(s-b)^2\cdot\log 2}$[/tex]
in cui, ponendo $(s-b)\cdot\sqrt{\log 2}=x$ si ottiene
[tex]$\sqrt{\log 2}\int e^{-x^2}\ dx$[/tex]
che è l'integrale della Gaussiana, non esprimibile in forma semplice. Faccio notare che, se l'integrale originale fosse stato definito su tutto $\mathbb{R}$, cioè come $\int_{-\infty}^{+\infty}$, allora con il cambiamento di variabile precedente e sapendo che $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\ dx=\sqrt{\pi}$ si sarebbe ottenuto, per quell'integrale, il valore $\sqrt{\pi\log 2}$.
P.S.: credo che "calcolare in forma concettuale" stia proprio per "cercare di riportarlo a una qualche forma nota e/o notevole"
[tex]$2^{-(s-b)^2}=e^{-(s-b)^2\cdot\log 2}$[/tex]
in cui, ponendo $(s-b)\cdot\sqrt{\log 2}=x$ si ottiene
[tex]$\sqrt{\log 2}\int e^{-x^2}\ dx$[/tex]
che è l'integrale della Gaussiana, non esprimibile in forma semplice. Faccio notare che, se l'integrale originale fosse stato definito su tutto $\mathbb{R}$, cioè come $\int_{-\infty}^{+\infty}$, allora con il cambiamento di variabile precedente e sapendo che $\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\ dx=\sqrt{\pi}$ si sarebbe ottenuto, per quell'integrale, il valore $\sqrt{\pi\log 2}$.
P.S.: credo che "calcolare in forma concettuale" stia proprio per "cercare di riportarlo a una qualche forma nota e/o notevole"
infatti in molti abbiamo trovato integrali di questo tipo negli scorsi compiti di analisi 1 ma nessuno riusciva a capire cosa si intendesse per "forma concettuale", credo che quello a cui sei giunto sia la soluzione, ho notato poi che tutti gli integrali trovati sono riconducibili alla gaussiana il probblema appunto sta nell'effettuare il giusto cambio di variabile.
Se mi potrsti spiegare con qualche passaggio in più come sei arrivato ad esprimere la funzione con $e$ base dell'esponente
Comunque ti ringrazio.
Se mi potrsti spiegare con qualche passaggio in più come sei arrivato ad esprimere la funzione con $e$ base dell'esponente
Comunque ti ringrazio.
Vale la seguente proprietà che lega esponenziali e logaritmi: $a^b=e^{\log a^b}=e^{b\log a}$.
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