Integrale risolvibile con funzioni Beta e Gamma

[briguz]

Devo fare un cambiamento di variabile per trasformare gli estremi di integrazioni da [0,2] a [0,1] in modo tale da poter risolvere l'integrale con le funzioni beta e gamma.
Non riesco a fare in modo corretto tale cambiamento di variabile, qualcuno può aiutarmi?

$ int_(0)^(2) x ** root(3)((8-x^3)) dx $

[Rigel1]

Con la sostituzione \(y=x/2\) l'integrale si riduce a
\[
8 \int_0^1 y \sqrt[3]{1-y^3} dy.
\]

[briguz]

Ma per applicare la Beta l'integrale deve essere nella forma B(x,y)= $ int_(0)^(1) g^(x-1) (1-g)^(y-1) dg $
Invece qua no, perchè sotto radice ho $ y^3 $ e non $ y $.

Io quindi avevo posto $ 1/8 (8 - x^3)=u $ per portare gli estremi tra [0,1]. Dopodichè ottenevo:

$ 8 - x^3=8u $
$ x=(8-8u)^(1/3) $
$ dx = -8/3(8-8u)^(-2/3)du $

Integrale diventa: $ -1/3 int_(0)^(1) u^(1/3)(8-8u)^(-1/3) du $ = $ -1/3 B(4/3;2/3) $ =$ -1/3[(Gamma(4/3)Gamma(2/3))/(Gamma(2))] $ = $ -(pi sqrt(3))/9 $


Corretto ?

[Rigel1]

Mi sembra ci siano errori nel calcolo dei coefficienti (e del segno); dovrebbe venire
\[
\frac{8}{3}\int_0^1 u^{1/3} (1-u)^{-1/3} du.
\]

[briguz]

ma allora se raccolgo l'8 sotto la radice cubica dovrebbe diventare:


$ -1/3 int_(0)^(1) u^(1/3) [8(1-u)]^(-1/3) du $ = $ -1/6 int_(0)^(1) u^(1/3) (1-u)^(-1/3) du $ =

$ -1/6 B(4/3;2/3) = -1/6 [(Gamma(4/3)Gamma(2/3))/(Gamma(2))] = -1/18 Gamma(1/3)Gamma(2/3) = - pi/(9 sqrt(3)) $

Forse ora è corretto...

[briguz]

Nessuno che sappia dirmi se quest'ultima è la soluzione corretta ???

[Rigel1]

Ovviamente non è corretto; come ti ho già detto, deve venire un nr. positivo. Dovrebbe venire
\[
\frac{8}{3} B(4/3, 2/3).
\]

[briguz]

Ho controllato su wolframalpha.com e come risultato mi da: $ (16 pi)/(9 sqrt(3)) $
A me viene quel risultato esatto però con il segno meno perchè arrivo a $ -8/3 B(4/3;2/3) $

E dire che il cambiamento di variabile mi sembra corretto...

$ (8-x^3)=8u $
$ x=2(1-u)^(1/3) $
$ dx=-2/3(1-u)^(-2/3) du $

sostituendo: $ -8/3 int_(0)^(1) u^(1/3) (1-u)^(-1/3) du $

[lordb]

"briguz":

Io quindi avevo posto $ 1/8 (8 - x^3)=u $ per portare gli estremi tra $ [0,1]$. Dopodichè ottenevo:

Se $x=0$ allora $u=1$,
se $x=2$ allora $u=0$.

$int_1^0 f(u)du=-int_0^1 f(u)du$

[briguz]

AHHHHH OK ora mi torna tutto!!!! Grazie mille

[lordb]

Di niente