Integrale Riemann: estremo superiore e inferiore

[zio_mangrovia]

Nella definizione di integrale secondo Riemann di una funzione continua si parla di partizione
di un intervallo in $n$ parti e di somme integrali superiori e inferiori,
non riesco a capire perché si esprime $s(P)$ o $S(P)$ utilizzando rispettivamente
l'estremo inferiore e quello superiore.
A mio avviso sarebbe opportuno scrivere le somme integrali utilizzando il minimo ed il massimo dato che si tratta di intervalli chiusi dove la funzione è quindi limitata e per Weierstrass ammette sia min che max. Cioè così:

$s(P)=\sum_{k=1}^n min_[X_k,X_(k-1)](X_k-X_(k-1))$

$S(P)=\sum_{k=1}^n max_[X_k,X_(k-1)](X_k-X_(k-1))$


Cosa ne pensate? Dove sbaglio?

[javicemarpe]

A non continuous bounded function doesn't have to reach its maximum/minimum in a compact set. If the function is continuous, then its supremum/infimum in a compact set is its maximum/minimum in this set.

The point is that they're noncontinuous functions which could be integrable, so, in general, you can't use the maximum/minimum for the Riemann sums.