Integrale reale in campo complesso

[nasmil]

Salve, sto sbattendo la testa su questo esercizio da tempo e non capisco come risolverlo in campo complesso:

$ int (1-cosx)/x^(3/2) $ con $ x = [0,infty[ $

Ho visto che la funzione è sommabile, quindi non c'è alcun problema.
Nel momento in cui devo risolverlo però ho dei problemi.
Ho scelto come dominio di integrazione due archi di circonferenza,piccolo e grande, da 0 fino a pi/2, quindi sull'asse immaginario.

Ho diviso poi l'integrale in 4 parti: quello sui due archi, quello sull'asse reale e quello sull'asse immaginario; poiché non ci sono residui da calcolare (non ci sono poli, ma solo un punto di diramazione), viene tutto 0. Inoltre l'integrale sui due archi dovrebbe essere 0.
Adesso non so come gestire i calcoli dell'integrale sulla parte reale e quello sulla parte immaginaria, qualcuno mi dà una mano?

Sulla parte reale ho $ int (1-e^(ix))/x^(3/2) $ sulla parte immaginaria ho $ i int (1-e^(-y))/(iy^(3/2)) $ ...

[nasmil]

Non capisco inoltre come trattare il punto di diramazione che coincide con il polo di ordine 1. Cioè ho una diramazione e un polo dato che $ z^(3/2) = z sqrt(z) $ al denominatore...

[nasmil]

Se provo ad usare le sostituzioni in campo complesso, che non so se si possono fare, si può arrivare alla soluzione? Quello che mi dà fastidio è il termine sotto radice, effettuerei questa sostituzione: $ t = z^(1/2) $
Che dite?

[nasmil]

Qualcuno può darmi una piccola mano?

[gugo82]

Hai provato con un trucco del tipo sostituire $1-\cos x$ con $2 \sin^2 (x/2)$?
Forse potrebbe tornare utile.

[nasmil]

"gugo82":Hai provato con un trucco del tipo sostituire $1-\cos x$ con $2 \sin^2 (x/2)$?
Forse potrebbe tornare utile.

Non ci avevo pensato, se faccio questa sostituzione in campo reale, devo farla anche in campo complesso? O meglio lungo gli archi di circonferenza?

[anonymous_0b37e9]

Dopo una prima integrazione per parti e una seconda per sostituzione:

$int_0^Mx^(-3/2)(1-cosx)dx=$

$=int_0^M(1-cosx)d(-2x^(-1/2))=$

$=[-2x^(-1/2)(1-cosx)]_0^M+int_0^M2x^(-1/2)sinxdx=$

$=[-2x^(-1/2)(1-cosx)]_0^M+4int_0^(sqrtM)sint^2dt$

ti puoi ricondurre a un integrale di Fresnel:

$int_0^(+oo)sinx^2dx=sqrt(2\pi)/4 rarr int_0^(+oo)x^(-3/2)(1-cosx)dx=sqrt(2\pi)$

[nasmil]

"anonymous_0b37e9":

Ti ringrazio, in pratica tutti i giri mentali che mi stavo facendo io sono stati stupidi perché bastava ricondurmi a Fresnel?

[anonymous_0b37e9]

Considerando:

$f(z)=(1-cosz)/z^2sqrtz$

si ottiene la seguente equazione ($C_r$ e $C_R$ sono circonferenze complete e il semiasse positivo delle ascisse è percorso due volte in versi opposti, tenendo conto della polidromia di $sqrtz$):

$int_r^Rf(z)dz+int_(C_R)f(z)dz+int_R^rf(z)dz+int_(C_r)f(z)dz=0 rarr$

$rarr 2int_r^R(1-cosx)/x^2sqrtx+int_(C_R)f(z)dz+int_(C_r)f(z)dz=0$

Ma mentre l'integrale su $C_r$ tende a zero, lo stesso non può dirsi dell'integrale su $C_R$, comunque di difficile valutazione. Non rimane che procedere per altra via.

[nasmil]

"anonymous_0b37e9":

Ti ringrazio, in quest'altra via in effetti mi risulta difficile dimostrare quanto vale il limite per $ R -> infty $ purtroppo facendo un esame di "metodi matematici" che tratta prevalentemente di variabile complessa, ho fatto riferimento solo a quello, anche se l'integrale di Fresnel li avevo studiati, non sapevo ricondurmi ad essi.