Integrale reale da risolvere su piano complesso
Salve a tutti 
Stavo cercando di risolvere il seguente esercizio ed ho incontrato dei problemi.
Sia $ f(z)=z*root()(z^2-1)/(1+z^4) $. Usando $ f(z) $ calcolare l'integrale $ int_(1)^(infty) x*root()(z^2-1)/(1+z^4)dx $.
Per risolvere l'esercizio ho pensato di integrare $ f(z) $ su un semicerchio di raggio $ R $ (da mandare successivamente ad $ infty $ che avesse il diametro sull'asse reale. Il tutto stando attento a saltare i punti di diramazione in $ z=+-1 $ con dei cerchietti di raggio $ epsilon $ che avrei mandato eventualmente a zero dopo. So che l'integrale di $ f(z) $ su questa curva è dato dalla somma dei residui che si trovano nel semicerchio. Sto trovando difficoltà a scrivermi l'integrale complesso in modo tale che sull'asse mi dia quello reale che devo ottenere alla fine.
Grazie
Stavo cercando di risolvere il seguente esercizio ed ho incontrato dei problemi.
Sia $ f(z)=z*root()(z^2-1)/(1+z^4) $. Usando $ f(z) $ calcolare l'integrale $ int_(1)^(infty) x*root()(z^2-1)/(1+z^4)dx $.
Per risolvere l'esercizio ho pensato di integrare $ f(z) $ su un semicerchio di raggio $ R $ (da mandare successivamente ad $ infty $ che avesse il diametro sull'asse reale. Il tutto stando attento a saltare i punti di diramazione in $ z=+-1 $ con dei cerchietti di raggio $ epsilon $ che avrei mandato eventualmente a zero dopo. So che l'integrale di $ f(z) $ su questa curva è dato dalla somma dei residui che si trovano nel semicerchio. Sto trovando difficoltà a scrivermi l'integrale complesso in modo tale che sull'asse mi dia quello reale che devo ottenere alla fine.
Grazie
Risposte
Anche io ho a che fare con questi integrali in questo periodo ,
per cominciare , mi dici come hai risolto
$ z^4+1=0 $ ?
per cominciare , mi dici come hai risolto
$ z^4+1=0 $ ?
Ciao
Per calcolare $ 1+ z^4=0 $ basta che tu passi alla forma esponenziale $ -1=e^(ipi) $ quindi fai la radice quarta del modulo ( che in questo caso è 1) e poi dividi per 4 l'esponente di $ e^(ipi) $ aggiungendo la periodicità di $ 2kpi/4=kpi/2 $ con $ k=0,1,2,3 $ . Ciao ciao
Per calcolare $ 1+ z^4=0 $ basta che tu passi alla forma esponenziale $ -1=e^(ipi) $ quindi fai la radice quarta del modulo ( che in questo caso è 1) e poi dividi per 4 l'esponente di $ e^(ipi) $ aggiungendo la periodicità di $ 2kpi/4=kpi/2 $ con $ k=0,1,2,3 $ . Ciao ciao
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