Integrale razionale fratto

[piergiorgiof1]

Ciao a tutti, sto svolgendo questo esercizio:

$\int 1/(x^2+2x+5) dx$

Ho appena iniziato questa tipologia e pensavo di risolverlo fattorizzando il denominatore e riducendo poi la frazione, con il sistema, in fratti semplici.
Come si può ben vedere però, non c'è modo di scomporre quel denominatore e non so come proseguire. Qualcuno può darmi qualche dritta?

[Lo_zio_Tom]

come vedi. il $Delta<0$ per cui non puoi scomporre il trinomio...non riesci a farlo diventare una somma di quadrati?

[Lo_zio_Tom]

tipo così?

$int1/(x^2+2x+5)dx =int1/((x+1)^2+4)dx=1/4int1/(1+((x+1)/2)^2)dx= $

$=1/2int1/(1+((x+1)/2)^2)d((x+1)/2)= 1/2arctan((x+1)/2)+C$

[Lo_zio_Tom]

ricordo che un qualunque trinomio del tipo $ax^2+bx+c$ può sempre essere espresso come differenza di quadrati nel seguente modo:

1) moltiplico il trinomio per $4a$
2) aggiungo e tolgo $b^2$
3) ottengo:

$4a^2x^2+4abx+4ac+b^2-b^2=(2ax+b)^2-(b^2-4ac)$

ovvero:

$4a^2x^2+4abx+4ac+b^2-b^2=(2ax+b)^2-Delta$

Dato che $Delta<0$, una volta scomposto il trinomio in questo modo è molto agevole portarlo nella forma $1/(1+Y^2)$ e quindi ritrovarsi immediatamente con un'integranda che è la derivata di un'arcotangente.

Questo procedimente vale SEMPRE. Nel caso in esame, il problema era molto più semplice avendo $x^2+2x+5$. Qui bastava osservare che tale trinomio si può scrivere come $(x^2+2x+1)+4$

[piergiorgiof1]

Appena do analisi ti faccio un regalo! Grazie