Integrale razionale di polinomi

[oslinux]

Ciao a tutti!

Si avvicina la data del mio esame, ripassando vecchi esercizi ho trovato questo che mi ha messo in difficoltà, mi aiutate a risolverlo?

\(\displaystyle
\int_{0}^{\pi/2}
\frac
{2sin(x)-cos(x)}
{sin(x)-2}
dx
\)

Io ho tentato con la sostituzione della tangente, procedendo in questo modo:
\(\displaystyle t=tan(\frac{x}{2}), sin(x)=\frac{2t}{1+t^2}, cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}, dx=\frac{2}{1+t^2}dt \)

Pigreco mezzi mi diventava 1 mentre 0 restava 0.

E svolgendo (Passo a indefinito):
\(\displaystyle
\int
\frac
{\frac{4t}{1+t^2}-\frac{1-t^2}{1+t^2}}
{\frac{2t}{1+t^2}-2}
\frac{2dt}{1+t^2}
=
\int
\frac
{t^2+4t-1}
{-2t^2+2t-2}
\frac{2dt}{1+t^2}
=
\int
\frac
{t^2+4t-1}
{(-t^2+t-1)(1+t^2)}
dt
=
\int
\frac
{t^2+4t-1}
{(t+1)(t-1)(-t^2+t-1)}
dt
\)

A questo punto come procedo?

Grazie mille in anticipo per l'aiuto!

Luca

[Zero87]

Ti segnalo che
$1+t^2 \ne (1+t)(1-t)$ (in uno dei tuoi ultimi passaggi per scomporre il denominatore).

Per il resto sono tentato a supporre che si possa risolvere il tutto con un scomposizione in fratti semplici, anche se non ho l'occhio di falco per questo. Intanto t'ho segnalato questa svista che, magari, t'aiuta.

[oslinux]

ops hai ragione! ok, allora mi fermo al passaggio prima:

\(\displaystyle \int \frac {t^2+4t-1} {(-t^2+t-1)(1+t^2)} dt \)

Anche io penso si scomponga in fratti semplici, ma ho tentato ed è uscito un mostro! Forse mi è sfuggito qualcosa...