Integrale razionale
Ciao a tutti.
Ho il seguente integrale: $int (x^4 + x^2 +1)/(2x^2 + x + 1) dx $.
Seguendo il procedimento standard spiegato nelle mie dispense ho fatto la divisione tra il Numeratore e il Denominatore, ed è venuto fuori questo integrale:
$int ((2x^2 + x + 1)(1/2x^2 - x/4 + 3/8))/(2x^2 + x + 1) + int (-5/8x + 5/8)/(2x^2 + x + 1) dx $.
A questo punto il primo integrale è di facile risoluzione e non ci son problemi. Per quanto riguarda il secondo:
$5/8int (-x + 1)/(2x^2 + x + 1) dx $. siccome il denominatore ha radici impossibili, applico la formula:
$int (ax+b)/(x^2 + px + q) dx $ = $ a/2 ln|x^2+px+q|$ + $(2b - ap)/sqrt(4q - p^2) arctan((2x + p)/(sqrt(4q - p^2))) $
che nel mio caso, secondo i miei calcoli viene:
$5/8 [-1/2ln|2x^2+x+1| + 3/sqrt3 arctan ((2x+1)/sqrt3)] $
Solo che la soluzione dell'esercizio è la seguente:
$ (3sqrt7 arctan ((sqrt7(4x+1))/7))/16 - (ln(2x^2+x+1))/33 $
Non riesco a trovare l'errore che faccio, e quindi spero che ci sia qualche buon'anima che mi possa indicare l'errore. grazie.
Ho il seguente integrale: $int (x^4 + x^2 +1)/(2x^2 + x + 1) dx $.
Seguendo il procedimento standard spiegato nelle mie dispense ho fatto la divisione tra il Numeratore e il Denominatore, ed è venuto fuori questo integrale:
$int ((2x^2 + x + 1)(1/2x^2 - x/4 + 3/8))/(2x^2 + x + 1) + int (-5/8x + 5/8)/(2x^2 + x + 1) dx $.
A questo punto il primo integrale è di facile risoluzione e non ci son problemi. Per quanto riguarda il secondo:
$5/8int (-x + 1)/(2x^2 + x + 1) dx $. siccome il denominatore ha radici impossibili, applico la formula:
$int (ax+b)/(x^2 + px + q) dx $ = $ a/2 ln|x^2+px+q|$ + $(2b - ap)/sqrt(4q - p^2) arctan((2x + p)/(sqrt(4q - p^2))) $
che nel mio caso, secondo i miei calcoli viene:
$5/8 [-1/2ln|2x^2+x+1| + 3/sqrt3 arctan ((2x+1)/sqrt3)] $
Solo che la soluzione dell'esercizio è la seguente:
$ (3sqrt7 arctan ((sqrt7(4x+1))/7))/16 - (ln(2x^2+x+1))/33 $
Non riesco a trovare l'errore che faccio, e quindi spero che ci sia qualche buon'anima che mi possa indicare l'errore. grazie.
Risposte
"l0r3nzo":
Per quanto riguarda il secondo:
$5/8int (-x + 1)/(2x^2 + x + 1) dx $. siccome il denominatore ha radici impossibili, applico la formula:
$int (ax+b)/(x^2 + px + q) dx $ = $ a/2 ln|x^2+px+q|$ + $(2b - ap)/sqrt(4q - p^2) arctan((2x + p)/(sqrt(4q - p^2))) $
che nel mio caso, secondo i miei calcoli viene:
$5/8 [-1/2ln|2x^2+x+1| + 3/sqrt3 arctan ((2x+1)/sqrt3)] $
Solo che la soluzione dell'esercizio è la seguente:
$ (3sqrt7 arctan ((sqrt7(4x+1))/7))/16 - (ln(2x^2+x+1))/33 $
Non riesco a trovare l'errore che faccio, e quindi spero che ci sia qualche buon'anima che mi possa indicare l'errore. grazie.
Intanto si dice radice complesse coniugate oppure non ammette radici
.Per quanto riguarda lo svolgimento del secondo integrale (ammesso che tutti i calcoli siano fatti bene), vorrei farti una domanda: perchè usi quella formula per trovare la soluzione dell'integrale? Cioè voglio dire: non è meglio capire il procedimento che sta dietro piuttosto che utilizzare quella roba, che secondo me, non è matematica? E poi la ricordi tutta a memoria? :O
Spero non sia stato il tuo prof ad obbligarti ad usarla perchè sarebbe assurdo...
"Lorin":
Intanto si dice radice complesse coniugate oppure non ammette radici
Per quanto riguarda lo svolgimento del secondo integrale (ammesso che tutti i calcoli siano fatti bene), vorrei farti una domanda: perchè usi quella formula per trovare la soluzione dell'integrale? Cioè voglio dire: non è meglio capire il procedimento che sta dietro piuttosto che utilizzare quella roba, che secondo me, non è matematica? E poi la ricordi tutta a memoria? :O
Spero non sia stato il tuo prof ad obbligarti ad usarla perchè sarebbe assurdo...
Per la dicitura, chiedo scusa.
Per il procedimento, sì, l'ha spiegata negli appunti e la sto usando ormai da diverse pagine. Sinceramente all'inizio mi faceva paura, ma dopo averla capita la trovo molto rapida nello svolgimento. Il problema è che non torna con il risultato e, cercando il risultato in uno dei siti web che fanno vedere il procedimento, ne ho trovato un terzo totalmente differente.
Quando al denominatore c'è un polinomio irriducibile di secondo grado si cerca di costruire l'integrale che dà come primitiva l'arcotangente, applicando così le formule, come se fosse il conto del macellaio secondo me non impari nulla, anche perchè, come nel tuo caso, se non ti trovi con il risultato non sai dove andarlo a cercare l'errore.
"Lorin":
Quando al denominatore c'è un polinomio irriducibile di secondo grado si cerca di costruire l'integrale che dà come primitiva l'arcotangente, applicando così le formule, come se fosse il conto del macellaio secondo me non impari nulla, anche perchè, come nel tuo caso, se non ti trovi con il risultato non sai dove andarlo a cercare l'errore.
Appunto, siccome è un polinomio irriducibile posso applicare immediatamente quella formula che mi da in pochi calcoli la soluzione.
Il problema è che ho trovato già diversi errori nelle dispense del prof. e quindi non vorrei che anche questo fosse un errore.
Per il resto, sinceramente non mi metto a discutere i metodi del prof per un semplice motivo. Faccio architettura, devo passare questo esame per sbloccare altri esami importanti e nella mia vita professionale o i miei dubbi che mi ritroverò a fare questa roba quindi non ho nemmeno voglia di imparare una materia che, ahimè fin dalle elementari, non ho mai amato. So che può sembrare stupido come ragionamento ma al 7 anno di università gli esami che sono meno inerenti con la mia formazione professionale si cerca di farli il più velocemente possibile.
Infatti hai ragione l'architetto con la matematica non ha nulla a che fare ù_ù...mi piace questo ragionamento!
Chissà scienze delle costruzioni come lo farai allora :S
Comunque con quella formula non saprei dirti ad occhio dov'è l'errore...se magari avessi postato un procedimento ti avrei potuto aiutare a risolverlo seguendo una certa logica, ma così boh...l'errore potrebbe essere dovunque!
Aspetta qualche altro utente e vedi se te lo trova...altrimenti vai dal prof che sicuramente saprà aiutarti!
Chissà scienze delle costruzioni come lo farai allora :S
Comunque con quella formula non saprei dirti ad occhio dov'è l'errore...se magari avessi postato un procedimento ti avrei potuto aiutare a risolverlo seguendo una certa logica, ma così boh...l'errore potrebbe essere dovunque!
Aspetta qualche altro utente e vedi se te lo trova...altrimenti vai dal prof che sicuramente saprà aiutarti!
dopo mangiato posto tutto il procedimento sperando di trovare un errore.
"Lorin":
Infatti hai ragione l'architetto con la matematica non ha nulla a che fare ù_ù...mi piace questo ragionamento!
Chissà scienze delle costruzioni come lo farai allora :S
Comunque con quella formula non saprei dirti ad occhio dov'è l'errore...se magari avessi postato un procedimento ti avrei potuto aiutare a risolverlo seguendo una certa logica, ma così boh...l'errore potrebbe essere dovunque!
Aspetta qualche altro utente e vedi se te lo trova...altrimenti vai dal prof che sicuramente saprà aiutarti!
Non hai molto presente com'è la situazione universitaria eh? mi viene da pensare che o sei già laureato da qualche anno e quindi non fai parte del sistema universitario o sei facente parte del corpo docenti universitari.
In entrambi i casi la risposta è molto semplice. Scienza della costruzioni è una materia fondamentale, però non ho mai trovato un architetto che ha fatto i calcoli strutturali, tranne piccoli edifici abitativi. Questo non vuol dire che un architetto non debba conoscere i calcoli nè tantomeno sapere come va fatto il corretto dimensionamento delle strutture, sarebbe da pazzi pensare ciò ma al tempo stesso è assurdo far perdere tempo importante per fare 2 corsi di matematica, per un totale di ben 14 crediti.
Sono desolato per la divagazione ma non credo di essere un menefreghista della mia facoltà. Ho la media del 27 e punto a tenerla alta ed è anche per questo motivo che quando ho un dubbio scrivo su questo forum per cercare di capirlo e risolverlo al meglio.
Detto questo, il procedimento è tutto quello scritto in precedenza, non vedo cosa dovrei aggiungere.
Sono uno studente al terzo anno di matematica.
Capisco la tua posizione e in qualche modo cerco di rispettarla; pensa che anche la mia fidanzata studia alla magistrale di architettura e lo stesso ragionamento che fai tu, lo ha fatto a suo tempo lei, ma purtroppo io non ce la faccio a sentire o a vedere certe cose...sarà l'amore per la materia, sarà che abbiamo due approcci differenti...ma secondo me fare matematica così, applicando una formula, non mi piace... e bada che se la formula fosse stata $a^2+b^2=c^2$ non avrei detto nulla...ma una formula di quella portata è assurdo che venga usata...quando il procedimento che sta alle spalle forse è anche più semplice.
Comunque come ti ho detto prima, vista in quel modo non saprei che dirti...aspetta qualche altro utente allora...^^
Capisco la tua posizione e in qualche modo cerco di rispettarla; pensa che anche la mia fidanzata studia alla magistrale di architettura e lo stesso ragionamento che fai tu, lo ha fatto a suo tempo lei, ma purtroppo io non ce la faccio a sentire o a vedere certe cose...sarà l'amore per la materia, sarà che abbiamo due approcci differenti...ma secondo me fare matematica così, applicando una formula, non mi piace... e bada che se la formula fosse stata $a^2+b^2=c^2$ non avrei detto nulla...ma una formula di quella portata è assurdo che venga usata...quando il procedimento che sta alle spalle forse è anche più semplice.
Comunque come ti ho detto prima, vista in quel modo non saprei che dirti...aspetta qualche altro utente allora...^^
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