Integrale razionale

[MetalFrancis]

Salve a tutti, ho un problema sulla risoluzione di questo integrale

$ int (x-1)/(x+2)^2 dx $ definito da $ 1 $ a $ 2 $

Praticamente non so come svolgerlo, ho letto qualche lezione e sul mio libro ma non so come scomporlo. La soluzione dice direttamente:

$ int (1/(x+1) - 2/(x + 1)^2) dx $

Potete indicarmi che argomento cercare e che tipo di scomposizione adoperare in questo caso? Grazie

[MetalFrancis]

"TeM":Se cerchi la chiave risolutiva, in questo caso si tratta della decomposizione in fratti semplici.


In generale si ha che una funzione razionale del tipo \(P(t)/Q(t)\) può essere riscritta come \[ \frac{P(t)}{Q(t)} = \frac{A_1}{at+b} + \cdots + \frac{A_2t + B_2}{at^2 + bt + c} + \cdots \] dove per ogni fattore di \(Q(t)\) nella forma \((at+b)^m\) si introducono i termini \[\frac{A_1}{at+b}+\frac{A_2}{(at+b)^2} + \cdots + \frac{A_m}{(at+b)^m}\] mentre per ogni fattore di \(Q(t)\) nella forma \((at^2 + bt + c)^m\) si introducono i termini \[ \frac{A_1t + B_1}{at^2 + bt + c}+\frac{A_2t + B_2}{(at^2 + bt + c)^2} + \cdots + \frac{A_mt + B_m}{(at^2 + bt + c)^m}. \]
Nel nostro caso specifico, si ha \[ \frac{x - 1}{(x + 2)^2} = \frac{A_1}{x + 2} + \frac{A_2}{(x + 2)^2} \] dove le costanti \(A_1\) e \(A_2\) si possono determinare applicando il principio di identità dei polinomi.

Sapresti procedere da solo?

Ciao, scusami per il ritardo con cui ti rispondo ma ho avuto dei problemi. Ti ringrazio per il tuo suggerimento, ma non capisco come applicare l'identità dei polinomi in questo caso. Metto semplicemente $A1=0$ e $A2=x-1$? Oppure devo fare la somma delle due frazioni prima? Sono confuso.

P.S. Bellissimo lo schema ODE che hai nella firma! Stampato e appiccicato ovunque in casa.

[Lo_zio_Tom]

senza scomodare il moderatore ti rispondo io....

devi risolvere il sistema derivante da quanto spiegatoti da TeM, ovvero devi trovare le incognite A e B tali per cui:

$(x-1)/(x+2)^2=A/(x+2)+B/(x+2)^2$

in sostanza devi risolvere il seguente sistema nelle incognite A e B

$A(x+2)+B=x-1$


chiaro così?

[MetalFrancis]

Chiarissimo! Grazie mille

[axpgn]

Andrebbe aggiunto che due polinomi sono uguali se sono uguali i coefficienti delle variabili di pari grado (altrimenti sembra un'equazione in due variabili con infinite soluzioni)

Nel caso in questione:

$Ax=x\ =>\ A=1$
$2A+B=-1\ =>\ B=-3$



Cordialmente, Alex