Integrale Radice
Salve,
mi sto complicando la vita con un integrale, vorrei chiedere un aiuto per capire come risolverlo.
$int ysqrt(1+y^2)$
di solito con questi integrali mi han insegnato sta regola di sostituzione $sqrt(ay^2+by+c)= sqrt(a)y+t$ con $a>0$.
ma la variabile $y$ che viene moltiplicata assieme mi complica la vita. Ho provato diversi metodi, anche per parti, e diverse sostituzioni, ma la primitive finali sono sempre diverse.
Qualcuno può dirmi come sostituire correttamente o dirmi un altro metodo?
Ringrazio chi aiuta
mi sto complicando la vita con un integrale, vorrei chiedere un aiuto per capire come risolverlo.
$int ysqrt(1+y^2)$
di solito con questi integrali mi han insegnato sta regola di sostituzione $sqrt(ay^2+by+c)= sqrt(a)y+t$ con $a>0$.
ma la variabile $y$ che viene moltiplicata assieme mi complica la vita. Ho provato diversi metodi, anche per parti, e diverse sostituzioni, ma la primitive finali sono sempre diverse.
Qualcuno può dirmi come sostituire correttamente o dirmi un altro metodo?
Ringrazio chi aiuta
Risposte
Prova a porre $t=1+y^2$.
e infatti viene che è na meraviglia. Fantastico
$F(y) = 1/3sqrt((1+y^2)^3)$
grazie mille, alla fine era davvero banale la sostituzione...
$F(y) = 1/3sqrt((1+y^2)^3)$
grazie mille, alla fine era davvero banale la sostituzione...
Per non aprire un altro topic, scrivo qua un altro integrale in cui sono bloccato. Se qualcuno è così gentile da darmi na mano.
$int ((1+cos(x))sin(x))/e^(cos(x))dx$
sostituisco $cos(x)=t$ $|x=arccos(t)$ $|dx=-(1/sqrt(1+t^2))dt$
$int ((1+t)*sin(arccos(t)))/e^t *-(1/sqrt(1+t^2)) dt = -int (1+t)/e^t *sqrt(1-t^2)/sqrt(1+t^2) dt$
una scomposizione possibile può essere:
$-int (1+t)/e^t *sqrt((1-t)*(1+t))/sqrt(1+t^2) dt$
ed ora?
$1+-t$ è troppo ripetitivo, son bloccato, non vedo vie d'uscita indolori, qualcuno può darmi una mano?
Ringrazio chi aiuta
$int ((1+cos(x))sin(x))/e^(cos(x))dx$
sostituisco $cos(x)=t$ $|x=arccos(t)$ $|dx=-(1/sqrt(1+t^2))dt$
$int ((1+t)*sin(arccos(t)))/e^t *-(1/sqrt(1+t^2)) dt = -int (1+t)/e^t *sqrt(1-t^2)/sqrt(1+t^2) dt$
una scomposizione possibile può essere:
$-int (1+t)/e^t *sqrt((1-t)*(1+t))/sqrt(1+t^2) dt$
ed ora?
$1+-t$ è troppo ripetitivo, son bloccato, non vedo vie d'uscita indolori, qualcuno può darmi una mano?
Ringrazio chi aiuta
ponendo
$cos(x) = t$
$ - "dx" sin(x) = "dt"$
$int (1+t)/e^(t) sin(x) dx = int - ( 1 + t )/e^t dt$
Se i passaggi sono leciti.
$cos(x) = t$
$ - "dx" sin(x) = "dt"$
$int (1+t)/e^(t) sin(x) dx = int - ( 1 + t )/e^t dt$
Se i passaggi sono leciti.
Sì, è tutto corretto.
ah si può fare una cosa del genere? interessante mai visto fare, davvero utile.
Sicuramente semplifica la vita, proverò a calcolarlo in questo modo, grazie mille
Domanda: si può fare con qualsiasi sostituzione?
Sicuramente semplifica la vita, proverò a calcolarlo in questo modo, grazie mille
Domanda: si può fare con qualsiasi sostituzione?
E' una cosa che si può fare, sì.
In sostanza ti accorgi che sotto il segno di integrale compare $sin(x) dx$ che guardacaso è proprio il differenziale di $cos(x)$ a meno del segno.
In base a questa considerazione operi una sostituzione di variabile opportuna.
In sostanza ti accorgi che sotto il segno di integrale compare $sin(x) dx$ che guardacaso è proprio il differenziale di $cos(x)$ a meno del segno.
In base a questa considerazione operi una sostituzione di variabile opportuna.
Lo puoi fare: ma infatti sotto un altro punto di vista è quel che stavi facendo anche tu. Soltanto che $D(arccosx)=-1/sqrt(1-x^2)$. Infatti viene la stessa cosa.
ma daiii...ovvio se si sbaglia di segno che vengon fuori i casini..
ho sovrapposto le derivate di arcotangente e arcocoseno...che ball, dai almeno ho imparato una nuova tecnica che sembra più veloce
grazie mille per avermelo fatto notare...
ho sovrapposto le derivate di arcotangente e arcocoseno...che ball, dai almeno ho imparato una nuova tecnica che sembra più veloce
grazie mille per avermelo fatto notare...
Vorrei riuscire a risolverlo definitivamente, e questa non è la prima volta che non riesco con un esponenziale come fattore. Se ho:
$-(int 1/e^t + int t/e^t)$
come diavolo tolgo quell'esponenziale, per parti non ne esce nulla, per sostituzione per carità non lo faccio.
Suggerimenti? che voglio definitivamente finirlo...
Ringrazio chi da n'ennesima mano
$-(int 1/e^t + int t/e^t)$
come diavolo tolgo quell'esponenziale, per parti non ne esce nulla, per sostituzione per carità non lo faccio.
Suggerimenti? che voglio definitivamente finirlo...
Ringrazio chi da n'ennesima mano
Scusa eh, ma quanto vale $int e^(-t) dt$ ? Direi che è banale!
Nel secondo hai $ int te^(-t) dt$... Che si fa per parti.
Nel secondo hai $ int te^(-t) dt$... Che si fa per parti.
e infatti ho applicato male quello che ricordavo....
$int e^-t dt$ pensavo che dovesse esserci la derivata dell'intera funzione tipo $int e^-t * (e^-t)^{\prime} dt$
bha grazie mille, e scusa la banalità.
EDIT:
riporto la soluzione, così per essere completo:
$int -e^-t + int -e^-t *t = e^-t + (te^-t + int -e^-t) = e^-t + te^-t + e^-t = e^-t*(2+t)$
sostituendo di nuovo:
$e^-t*(2+t) = (2+cos(x))/e^cos(x)$ .
$int e^-t dt$ pensavo che dovesse esserci la derivata dell'intera funzione tipo $int e^-t * (e^-t)^{\prime} dt$
bha grazie mille, e scusa la banalità.
EDIT:
riporto la soluzione, così per essere completo:
$int -e^-t + int -e^-t *t = e^-t + (te^-t + int -e^-t) = e^-t + te^-t + e^-t = e^-t*(2+t)$
sostituendo di nuovo:
$e^-t*(2+t) = (2+cos(x))/e^cos(x)$ .
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