Integrale "tranquillo", ma non trovo l'errore

[valentina921]

Buonasera a tutti,
sto facendo esercizi sugli integrali e da un po' troppo tempo sono ferma su questo:

$\int x^3/sqrt(1+x^2) dx$.

In realtà ho trovato altri modi per risolverlo, quindi non vi chiedo di farlo, vorrei solo mostrare il passaggio iniziale del mio primo svolgimento, perchè credo sia sbagliato e non capisco perchè:

ho fatto un cambio variabile $t=1+x^2$ da cui $dt=2xdx$ e $x^2=t-1$. Dunque:

$1/2 int 2x*x^2/(sqrt(1+x^2)) dx = 1/2 int (t-1)/sqrt(t) dt $

e da qui sono andata avanti separando in due integrali poi semplici da svolgere. Però forse quello che ho fatto prima non si può fare! Perchè?

Vi ringrazio come sempre in anticipo

Valentina

[Quinzio]

A me sembra corretto.

[valentina921]

Anche a me, ma poi il risultato viene sbagliato...

[valentina921]

Cioè, il risultato che viene a me è $sqrt(1+x^2) 1/3(1+x^2)-1 $ mentre sulle soluzioni dice che deve venire $sqrt(1+x^2) 1/3(x^2-2)-1 $. E' sbagliata la soluzione??

[Quinzio]

No va bene la soluzione del libro.

[valentina921]

E allora perchè è sbagliato il mio?

[Quinzio]

No, porta pazienza, la soluzione è $ 1/3 (x^2-2) sqrt(x^2+1)$

[valentina921]

...che è equivalente alla mia soluzione! Allora nel libro c'è un -1 di troppo. Non è la prima volta che trovo risultati sbagliati, ma pensavo fosse una sola svista! Così però ci fanno diventare matti, non ci si può fidare neanche del testo!
Scusa se ti ho fatto perdere tempo, e grazie della pazienza!

[Quinzio]

No , il libro è giusto, nella tua soluzione manca una parentesi...
Lascialo perdere, domattina ci riguardi, sarà tutto + chiaro

[valentina921]

Oooooooh è vero, va messo tra parentesi tutto quello che c'è dopo la radice... adesso ho capito e mi viene uguale alla soluzione che hai detto tu qui:

"Quinzio":No, porta pazienza, la soluzione è $ 1/3 (x^2-2) sqrt(x^2+1)$

però nella soluzione del libro c'è scritta quella soluzione -1 (riguarda quello che avevo scritto), perchè dici che è giusto?