Integrale, problema sostituzione?

[Darèios89]

[tex]\int \frac{sin(logx)}{x^2}[/tex]

Anche qui credo convenga per sostituzione:

Ho posto:

[tex]logx=t[/tex], [tex]x=e^t[/tex], [tex]x^2=e^{2t}[/tex], [tex]dx=e^t*dt[/tex]

Arrivo a:

[tex]\int \frac{sin(t)}{e^t}[/tex]

Qui....ho provato per parti, ma arrivo a dovere integrare un prodotto, e non risolvo.

Ho pensato di considerare [tex]f(x)=sin(t), g(x)=log(e^t)[/tex]

Non sono arrivato a nulla...

[emmeffe90]

"Darèios89":[...]
Arrivo a:

[tex]\int \frac{sin(t)}{e^t}[/tex]

Fin qui va bene. Ora integra per parti: se non ho sbagliato i calcoli, dovresti avere ciò: $ int_()^() sin (t)*e^(-t)dt= -cos(t)*e^(-t)-int_()^() cos(t)*e^(-t)dt=-cos(t)*e^(-t)-sin(t)*e^(-t)-int_()^() sin(t)*e^(-t)dt $ .
A questo punto, consideri il tutto come un'equazione con $int_()^() sin (t)*e^(-t)dt$ come incognita: $2int_()^() sin (t)*e^(-t)dt=-cos(t)*e^(-t)-sin(t)*e^(-t)$.
Dividi per 2 e ottieni l'integrale cercato.
Spero di esserti stato d'aiuto...

[Darèios89]

La formula che conosco io per integrare per parti è:

[tex]\int f(x)*g'(x)=f(x)*g(x)-\int f'(x)*g(x) dx[/tex]

E otterrei:

[tex]\int \frac{sint}{e^x}=sint*log(e^t)-\int cos(t)*log(e^t)[/tex]

Ma non so se è giusto ed eventualmente come continuare.

[emmeffe90]

"Darèios89":La formula che conosco io per integrare per parti è:

[tex]\int f(x)*g'(x)=f(x)*g(x)-\int f'(x)*g(x) dx[/tex]

Anch'io ho usato questa formula, con $f(x)=e^(-t), g(x)=cos(t)$.

"Darèios89":E otterrei:

[tex]\int \frac{sint}{e^x}=sint*log(e^t)-\int cos(t)*log(e^t)[/tex]

Ma non so se è giusto ed eventualmente come continuare.

Se integri di nuovo per parti, dovresti ottenere quello che ho scritto prima

[Darèios89]

No no, non ho capito che hai fatto, all'interno dell'ultimo integrale dopo che hai applicato la formula hai un prodott, non ho capito come lo risolvi..

[emmeffe90]

All'interno dell'ultimo integrale dovresti ritrovare quello che c'era nel primo, cioè $int_()^()sin(t)/e^tdt$. O no?

[Darèios89]

"emmeffe90":[quote="Darèios89"][...]
Arrivo a:

[tex]\int \frac{sin(t)}{e^t}[/tex]

Fin qui va bene. Ora integra per parti: se non ho sbagliato i calcoli, dovresti avere ciò: $ int_()^() sin (t)*e^(-t)dt= -cos(t)*e^(-t)-int_()^() cos(t)*e^(-t)dt=-cos(t)*e^(-t)-sin(t)*e^(-t)-int_()^() sin(t)*e^(-t)dt $ .
A questo punto, consideri il tutto come un'equazione con $int_()^() sin (t)*e^(-t)dt$ come incognita: $2int_()^() sin (t)*e^(-t)dt=-cos(t)*e^(-t)-sin(t)*e^(-t)$.
Dividi per 2 e ottieni l'integrale cercato.
Spero di esserti stato d'aiuto... [/quote]

Nella prima cosa che hai scritto, la prima volta che hai applicato la formula, non ho capito l'espressione che segue l'ultimo uguale come l'hai ottenuta:

Hai [tex]-cos(t)*e^-t[/tex] e ci siamo, ma quello che hai dopo da dove viene fuori?

[emmeffe90]

Ho applicato di nuovo la formula di integrazione per parti: $-int_()^()cos(t)*e^(-t)dt=-sin(t)*e^(-t)-int_()^()sin(t)*e^(-t)dt$.
(Sempre se non ho sbagliato i conti...)

[pater46]

Comunque Dareios trovi queste formule ( di integrazione per ricorrenza ) molto facilmente sia su internet che nei libri di testo, se dai un'occhiata puoi vedere il procedimento.

[Darèios89]

La tecnica l'ho capita, l'integrale non credo sia corretto, mi pare hai fatto qualche errore di segno nel calcolo dell'ultimo integrale per parti, comunque, l'importante è che ho capito la tecnica.
Grazie.