Integrale / problema di cauchy con valori assoluti
scusate se riassumo i miei due problemi in un unico post ma mi sembrava inutile aprire due discussioni.
Ho due dubbi, il mio professore di analisi ha bocciato il modo in cui ho risolto questi due esercizi , sull'integrale credo di aver capito ma non capisco un metodo alternativo per risolvere il problema di cauchy ecco qua:
1) INTEGRALE DEFINITO:
$ int_(-2)^(2) e^x |x^4-1| dx $
io lo avevo spezzato da -2 a 0 e da 0 a 2 ma non è corretto perchè bisogna considerare il valore assoluto in maniera diversa, potreste mostrarmi come suddividere questo integrale?
2)PROBLEMA DI CAUCHY
$ { ( y''-9|y|=e^(3x) ),( y(0)=0 ),( y'(0)=0 ):} $
anche in questo caso ho risolto l'eq differenziale del secondo ordine considerando la y prima maggiore di zero e poi minore di zero, avendo cosi' due soluzioni...ma anche ciò non risulta corretto, quale è il giusto modo di risolverla?
grazie mille in anticipo, vorrei capire come considerare sti benedetti valori assoluti che tanto odio xD
Ho due dubbi, il mio professore di analisi ha bocciato il modo in cui ho risolto questi due esercizi , sull'integrale credo di aver capito ma non capisco un metodo alternativo per risolvere il problema di cauchy ecco qua:
1) INTEGRALE DEFINITO:
$ int_(-2)^(2) e^x |x^4-1| dx $
io lo avevo spezzato da -2 a 0 e da 0 a 2 ma non è corretto perchè bisogna considerare il valore assoluto in maniera diversa, potreste mostrarmi come suddividere questo integrale?
2)PROBLEMA DI CAUCHY
$ { ( y''-9|y|=e^(3x) ),( y(0)=0 ),( y'(0)=0 ):} $
anche in questo caso ho risolto l'eq differenziale del secondo ordine considerando la y prima maggiore di zero e poi minore di zero, avendo cosi' due soluzioni...ma anche ciò non risulta corretto, quale è il giusto modo di risolverla?
grazie mille in anticipo, vorrei capire come considerare sti benedetti valori assoluti che tanto odio xD
Risposte
"marins":
1) INTEGRALE DEFINITO:
$ int_(-2)^(2) e^x |x^4-1| dx $
io lo avevo spezzato da -2 a 0 e da 0 a 2 ma non è corretto perchè bisogna considerare il valore assoluto in maniera diversa, potreste mostrarmi come suddividere questo integrale?
In effetti, la discussione del valore assoluto porta a:
\[|x^4-1|=\begin{cases}x^4-1,\quad\mbox{se}\quad x^4\ge1,\quad x\le -1\cup x\ge1 \\\\
1-x^4,\quad\mbox{se}\quad x^4\le1,\quad-1\le x\le 1
\end{cases},\]
e quindi l'integrale risulta equivalente a:
\[\int_{-2}^{2} e^x |x^4-1| dx=\int_{-2}^{-1} e^x ( x^4-1) dx+\int_{-1}^{1} e^x (1-x^4) dx+\int_{1}^{2} e^x (x^4-1) dx.\]
"Noisemaker":
e quindi l'integrale risulta equivalente a:
\[ \int_{-2}^{2} e^x |x^4-1| dx=\int_{-2}^{-1} e^x ( x^4-1) dx+\int_{-1}^{1} e^x (1-x^4) dx+\int_{1}^{2} e^x (x^4-1) dx. \]
ok ok ora inizio a capire come scompattare i valori assoluti negli integrali definiti!
per il problema di cauchy?
Per il PdC, prima di fare conti è meglio che ti fermi a ragionare sul problema in sé.
Nota che la EDO si riscrive:
\[
y^{\prime \prime}(x) = e^{3x} + |y(x)|
\]
e, dato che \(e^{3x}>0\) e che \(|y(x)|\geq 0\), ciò implica \(y^{\prime \prime} (x)>0\).
Conseguentemente la soluzione \(y(x)\), lì dove definita, è strettamente convessa e ciò significa che il suo grafico sta tutto sopra la tangente al grafico nel punto di coordinate \((0,y(0))=(0,0)\); dato che \(y^\prime (0)=0\), la tangente al grafico della soluzione è la retta d'equazione \(y=0\), cioé l'asse delle ascisse, e la convessità implica:
\[
\tag{1}
y(x)\geq 0
\]
per ogni \(x\) nell'insieme di definizione della soluzione del PdC.
Conseguentemente, il valore assoluto nella EDO non è efficace, poiché \(|y(x)|=y(x)\) grazie alla (1), ed il problema può essere riscritto:
\[
\tag{2}
\begin{cases}
y^{\prime \prime} (x) - y(x)= e^{3x}\\
y(0)=0\\
y^\prime (0)=0
\end{cases}
\]
senza creare problemi. Il problema (2) è risolubile con tecniche estandard e, per quanto detto più sopra, fornisce la soluzione del PdC assegnato.
Nota che la EDO si riscrive:
\[
y^{\prime \prime}(x) = e^{3x} + |y(x)|
\]
e, dato che \(e^{3x}>0\) e che \(|y(x)|\geq 0\), ciò implica \(y^{\prime \prime} (x)>0\).
Conseguentemente la soluzione \(y(x)\), lì dove definita, è strettamente convessa e ciò significa che il suo grafico sta tutto sopra la tangente al grafico nel punto di coordinate \((0,y(0))=(0,0)\); dato che \(y^\prime (0)=0\), la tangente al grafico della soluzione è la retta d'equazione \(y=0\), cioé l'asse delle ascisse, e la convessità implica:
\[
\tag{1}
y(x)\geq 0
\]
per ogni \(x\) nell'insieme di definizione della soluzione del PdC.
Conseguentemente, il valore assoluto nella EDO non è efficace, poiché \(|y(x)|=y(x)\) grazie alla (1), ed il problema può essere riscritto:
\[
\tag{2}
\begin{cases}
y^{\prime \prime} (x) - y(x)= e^{3x}\\
y(0)=0\\
y^\prime (0)=0
\end{cases}
\]
senza creare problemi. Il problema (2) è risolubile con tecniche estandard e, per quanto detto più sopra, fornisce la soluzione del PdC assegnato.
ok grazie mille ora ho capito!! 
ma c'è una regola generica per affrontare pdc del genere? o devo valutare i valori assoluti caso per caso? 
ma c'è una regola generica per affrontare pdc del genere? o devo valutare i valori assoluti caso per caso?
Sarebbe meglio lo facessi caso per caso.
Fare i conti meccanicamente, senza riflettere, non è quasi mai una soluzione praticabile quando si ha a che fare con la Matematica "seria".
Fare i conti meccanicamente, senza riflettere, non è quasi mai una soluzione praticabile quando si ha a che fare con la Matematica "seria".
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