Integrale probabilmente banale ma insidioso

[toguttina]

Buonasera a tutti e auguri di buon anno!
Sono stata per un giorno intero alle prese con questi 2 integrali che possono sembrare banali, ma nascondono delle insidie...:
il primo è
\(\displaystyle \int \frac{ 1}{x(1+log^2x)}dx \)
ho provato a far comparire al numeratore la derivata del denominatore e non viene; ho provato a farlo per parti e non viene; ho provato ad usare il principio di identità dei polinomi e non viene. Avete idee?
Il secondo è:
\(\displaystyle \int \frac{sinx}{(cos^2x)^{1/3}} \)
Anche in questo caso ho provato a far comparire al numeratore la derivata del denominatore e non ci siamo.Ho provato per parti ma anche qui non ci siamo.
Come li risolvereste?
ringrazio già in anticipo tutti quelli che risponderanno.

[Seneca1]

"toguttina":
\(\displaystyle \int \frac{ 1}{x(1+log^2x)}dx \)
ho provato a far comparire al numeratore la derivata del denominatore e non viene; ho provato a farlo per parti e non viene; ho provato ad usare il principio di identità dei polinomi e non viene. Avete idee?

Poni $log(x) = t$ . Differenziando ambo i membri si ottiene: $(dx )/x = dt$. Il tuo integrale si semplifica diventando:

$int 1/(1 + t^2) dt$

[Seneca1]

"toguttina":
\(\displaystyle \int \frac{sinx}{(cos^2x)^{1/3}} \)
Anche in questo caso ho provato a far comparire al numeratore la derivata del denominatore e non ci siamo.Ho provato per parti ma anche qui non ci siamo.
Come li risolvereste?

$int (sin(x))/( cos^2(x) )^(1/3) dx$

$t = cos(x)$, da cui, differenziando, hai $dt = - sin(x) dx$ e sostituendo:

$int - (- sin(x))/( cos^2(x) )^(1/3) dx = int - (dt)/( t^2 )^(1/3) $ che non dovrebbe presentare complicazioni...

[Ziben]

Ciao
per
$int_()^()sinx/(cos^2x)^(1/3)dx$

se scrivi $int_()^()sinx (cosx)^(-2/3)dx$ = $-int_()^()(-sinx) (cosx)^(-2/3)dx$
hai la forma
$int_()^()f^alpha(x)f'(x)dx=f^(alpha+1)/(alpha+1)$