Integrale primo di un sistema

[ludwigZero]

Studiando l'analisi qualitativa di Weirstrass, sto trovando problemi a capire un passaggio.
Definito l'equazione differenziale
$x'' = f(x)$ con massa unitaria
devo dire che posto:
$V(x,v)= (1/2)*v^2 + U(x)$
$U(x) = - \int f(x) dx$

si ha che:
$d/dt (V(x(t),v(t)) = (DV/Dx)*x' + (DV)/(Dv) v' = -f(x) v + v f(x) = 0$ (2)

ora io ho anche il sistema equivalente alla eq diff che ho scritto all'inizio
$x' = v$
$v' = f(x)$

Non capisco perchè si usano le derivate parziali (che ho indicato con $D$) e come potrei scrivere i passaggi intermedi della $(2)$ e se vi sia un particolare teorema legato a questi passaggi...

scusate per la banale domanda, ma per me non lo è :%%%%

[falseaccuse]

scusa, non si capisce nulla

[ludwigZero]

Ho l'equazione differenziale
$x'' = f(x)$

e le somme delle energie [cinetica+potenziale]:
$V(x,v) = (1/2)*v^2 + U(x)$
e $U(x)$ definito in quel modo.

quello che non capisco è la (2)

che è una proprietà delle funzioni ed è detta integrale primo del sistema.

[falseaccuse]

Un integrale primo è una quantità che non varia nel tempo. In pratica hai una traiettoria nello spazio di fase, $(x(t),v(t))$: un integrale primo è una funzione di $(x,v)$ tale per cui la traiettoria nello spazio di fase la lascia inalterata: cioè, la traiettoria di fase corre lungo una sua linea di livello. Si può anche definire come una grandezza la cui derivata rispetto al tempo è zero. Lì ti mostra come l'energia sia un integrale primo

[ludwigZero]

Sul libro che uso dice che
$(x,v)$ è uno spazio delle velocità $gamma$
il ritratto di fase è l'insieme di tutte le traiettorie dinamiche.
La traiettoria di fase corre lungo una linea di livello del tipo $V(x,v) =E$.

Quindi quella dim delle derivate parziali altro non è un modo per dire che la derivata della 'funzione energia' rispetto al tempo è nulla. Non riesco a capire però i passaggi matematici che vi sono li in mezzo....è come se saltasse qualcosa per dire che è 0.

[falseaccuse]

Praticamente hai per il teorema della funzione composta

$ d/dt V(x(t),v(t))= (\partialV)/(\partialx)(\partialx)/(\partialt) + (\partialV)/(\partialv)(\partialv)/(\partialt) = (\partialU)/(\partialx)(\partialx)/(\partialt) + v(\partialv)/(\partialt) $

a questo punto usi $(\partialx)/(\partialt)=v$ e $(\partialv)/(\partialt)=f=-(\partialU)/(\partialx)$ e ti viene il risultato del libro