[Integrale] Piccola curiosità
ciao!
ho una piccola curiosità circa lo svolgimento dell'integrale:
dovrebbe uscire radice quadrata di pi-greco, ma non ho capito come ci si arriva.
Credo, dato il risultato, che si debba trovare un modo per arrivare a scrivere una funzione trigonometrica, però non so come...
Mi è sorta la curiosità leggendo un aneddoto su Kevin e Littlewood circa lo svolgimento più o meno intuitivo di questo integrale.
Grazie!
ho una piccola curiosità circa lo svolgimento dell'integrale:
dovrebbe uscire radice quadrata di pi-greco, ma non ho capito come ci si arriva.
Credo, dato il risultato, che si debba trovare un modo per arrivare a scrivere una funzione trigonometrica, però non so come...
Mi è sorta la curiosità leggendo un aneddoto su Kevin e Littlewood circa lo svolgimento più o meno intuitivo di questo integrale.
Grazie!
Risposte
ohibò...scrivi una cosa e subito ne dici un'altra...dovrebbe uscire radice di pi greco o di pi greco mezzi???
io cmq studiando analisti statistica degli errori so che integrale tra -inf e + inf di e^((-x^2)2)dx=sqrt(2pi)...ma anch'io non so il perchè...quindi mi associo alla tua domanda!
ciao!!
io cmq studiando analisti statistica degli errori so che integrale tra -inf e + inf di e^((-x^2)2)dx=sqrt(2pi)...ma anch'io non so il perchè...quindi mi associo alla tua domanda!
ciao!!
Io conosco una dimostrazione molto semplice, ma che necessita del calcolo di un integrale doppio. Se vi va ve la posto.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Luca Lussardi
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Raga per la dimostrazione dell'integrale occorre passare per il teorema dei residui (Analisi Complessa), ma non credo che sia l'unica possibilità, mi cimento .. vediamo che esce fuori ^_^
Puo' anche darsi che si possa fare con i metodi dell'Analisi Complessa; pero' la via dell'Analisi 2 e' piu' facile...
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Luca Lussardi
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Indubbiamente, passare per analisi due che per l'analisi complessa mi sa che è più agevole. Percaso parlate della dimostrazione che consiste nel moltiplicare l'integrale per una sua copia di variabile cambiata, e passare poi per il doppio integrale, usando poi un cambio di coordinate da cartesiane a polari ?
Io non vedo come si possa fare l'integrale usando l'analisi complessa: la funzione e' olomorfa e quindi non ci sono singolarita' di cui calcolare i residui, poi, anche se su questo mi sbagliassi, la funzione "spara" all'infinito con molta rapidita sull'asse immaginario percio' dubito che si riesca a trovare un cammino sul quale l'integrale fuori da R vada a zero.... Al massimo con l'analisi complessa ho visto fare gli integrali di Fresnel ( che si basano poi su quello di exp(-x^2) )....
In conclusione se anche fosse fattibile sarebbe piuttosto complicato.
Senza considerare che la dimostrazione a cui si riferisce Luca e' molto bella e non particolarmente complessa....
In conclusione se anche fosse fattibile sarebbe piuttosto complicato.
Senza considerare che la dimostrazione a cui si riferisce Luca e' molto bella e non particolarmente complessa....
quote:
Originally posted by vecchio
ohibò...scrivi una cosa e subito ne dici un'altra...dovrebbe uscire radice di pi greco o di pi greco mezzi???
io cmq studiando analisti statistica degli errori so che integrale tra -inf e + inf di e^((-x^2)2)dx=sqrt(2pi)...ma anch'io non so il perchè...quindi mi associo alla tua domanda!
ciao!!
scusate, ho semplicemente sbagliato a scrivere, il risultato è quello riportato nella img che ho postato.
Cmq io analisi complessa non l'ho fatta, sto studiando adesso analisi II...
sono più che altro curioso, Luca, se vuoi ed hai tempo, posta pure la soluzione... mi piacerebbe darci uno sguardo...
Grazie!
ma sbaglio o il teorema dei residui si applica proprio a funzioni olomorfe ??
"Sia f olomorfa nell'insieme aperto e connesso A sottinsieme di C...", credo di aver presente la dimostrazione di cui si parla, carina, vero molto semplice. Eppure continua a sembrarmi un po' una forzatura... (magari sono io che continuo a non cairla ^_^) come mai viene definito di punto in bianco I^2 = Integal[-inf, +inf, e^sqr(x), dx]*Integal[-inf, +inf, e^sqr(y), dy]. ??
"Sia f olomorfa nell'insieme aperto e connesso A sottinsieme di C...", credo di aver presente la dimostrazione di cui si parla, carina, vero molto semplice. Eppure continua a sembrarmi un po' una forzatura... (magari sono io che continuo a non cairla ^_^) come mai viene definito di punto in bianco I^2 = Integal[-inf, +inf, e^sqr(x), dx]*Integal[-inf, +inf, e^sqr(y), dy]. ??
La dimostrazione a cui mi riferisco e' proprio quella di cui si parla. E' un'applicazione del Teorema di riduzione di Fubini-Tonelli. Il trucco sta nel calcolare, anziche' l'integrale su R di e^(-x^2), l'integrale su R^2 di e^(-|x|^2). Dal momento che |x|^2=x_1^2+x_2^2, ne segue che e^(-|x|^2)=e^(-x_1^2)e^(-x_2^2). Per il Teorema di Fubini allora, se denoto con I l'integrale su R di e^(-x^2), si ha che l'integrale su R^2 di e^(-|x|^2) vale I^2.
Ora per concludere basta calcolare l'integrale su R^2 di e^(-|x|^2) cambiando le coordinate, passando a coordinate polari, ma questo e' solo un banale calcolo.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Ora per concludere basta calcolare l'integrale su R^2 di e^(-|x|^2) cambiando le coordinate, passando a coordinate polari, ma questo e' solo un banale calcolo.
Luca Lussardi
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Se la funzione e' olomorfa non ha singolarita' e quindi neanche residui da calcolare.
In altri termini se f e' olomorfa l'integrale su un cammino chiuso e' nullo per cui non si puo' sperare di calcolare l'integrale su R come la somma di due integrali (uno di "andata" uno di "ritorno") di un cammino chiuso per poi dimostrare che uno dei due va a zero....
Il teorema dei residui si applica per funzioni olomorfe ovunque meno che in un numero finito di punti.
Ovviamente si applica anche a funzioni olomorfe, ma risulta inutile, per quanto ho detto prima, per calcolare integrali.
In altri termini se f e' olomorfa l'integrale su un cammino chiuso e' nullo per cui non si puo' sperare di calcolare l'integrale su R come la somma di due integrali (uno di "andata" uno di "ritorno") di un cammino chiuso per poi dimostrare che uno dei due va a zero....
Il teorema dei residui si applica per funzioni olomorfe ovunque meno che in un numero finito di punti.
Ovviamente si applica anche a funzioni olomorfe, ma risulta inutile, per quanto ho detto prima, per calcolare integrali.
Non so cosa sia una funzione olomorfa, dato che studio ing., cmq la spiegazione di luca è corretta anche alla luce di quanto ha detto david_e ?
Le funzioni olomorfe sono quelle dal campo dei complessi a quello dei complessi la cui serie di Mac-Laurin ha raggio di convergenza infinito. (sono funzioni analitiche). (non e' la definizione formale)
Io ho solo sostenuto che non fosse possibile (o comunque semplice) usare la tecnica dei residui che e' quella che e' stata proposta in alternativa OLTRE a quella di Luca per calcolare quell'integrale...
Quindi la tecnica di Luca e' piu' che corretta.
PS: Anche io studio Ing. Probabilmente vedrai anche tu le funzioni di variabile complessa quando farai teoria dei sistemi o un corso di metodi matematici sulle trasformate integrali. (se sono nel tuo piano di studi).
Io ho solo sostenuto che non fosse possibile (o comunque semplice) usare la tecnica dei residui che e' quella che e' stata proposta in alternativa OLTRE a quella di Luca per calcolare quell'integrale...
Quindi la tecnica di Luca e' piu' che corretta.
PS: Anche io studio Ing. Probabilmente vedrai anche tu le funzioni di variabile complessa quando farai teoria dei sistemi o un corso di metodi matematici sulle trasformate integrali. (se sono nel tuo piano di studi).
si si, lo sono
Ok, quella di Luca mi sembra piuttosto semplice ed accettabile.
Grazie a tutti di aver soddisfatto la mia curiosità
Ok, quella di Luca mi sembra piuttosto semplice ed accettabile.
Grazie a tutti di aver soddisfatto la mia curiosità
grazie anche da parte mia!
ciao!
ciao!
salve!potreste soddisfare anche le mie di curiosità?
devo consegnare entro lunedì una tesina riguardante gauss...e calcolare l'integrale di cui avete parlato(che è poi quello della curva a campana)...il prof mi ha consigliato di farlo per sostituzione perchè gli integrali doppi nn li abbiamo mai fatti.sapreste aiutarmi?
devo consegnare entro lunedì una tesina riguardante gauss...e calcolare l'integrale di cui avete parlato(che è poi quello della curva a campana)...il prof mi ha consigliato di farlo per sostituzione perchè gli integrali doppi nn li abbiamo mai fatti.sapreste aiutarmi?
A proposito di quell'integrale: conosco un metodo semplice per calcolarlo, basato sui solidi di rotazione. Indichiamo con C il valore dell'integrale da calcolare. Consideriamo la funzione:
f(x,y)=exp(-(x^2+y^2)) . Il grafico di f(x) è si ottiene ruotando il grafico di exp(-x^2) intorno all'asse z. Calcolo il volume del solido sotteso dal grafico di f(x) in 2 modi:
1)Calcolo int(int(f(x,y),x,-inf,-inf),y,-inf,-inf) e ottengo che il volume del solido è C^2 .
2)Scrivo l'inversa di exp(-x^2): g(y)=sqrt(-log(y)) e calcolo il volume usando la formula per il volume dei solidi di rotazione:
Volume = pi*int((g(y))^2,y,0,1) = pi .
Uguagliando i risultati ottengo: C = sqrt(pi) . CVD.
f(x,y)=exp(-(x^2+y^2)) . Il grafico di f(x) è si ottiene ruotando il grafico di exp(-x^2) intorno all'asse z. Calcolo il volume del solido sotteso dal grafico di f(x) in 2 modi:
1)Calcolo int(int(f(x,y),x,-inf,-inf),y,-inf,-inf) e ottengo che il volume del solido è C^2 .
2)Scrivo l'inversa di exp(-x^2): g(y)=sqrt(-log(y)) e calcolo il volume usando la formula per il volume dei solidi di rotazione:
Volume = pi*int((g(y))^2,y,0,1) = pi .
Uguagliando i risultati ottengo: C = sqrt(pi) . CVD.
Ragazzi! Trovata la dimostrazione per la risoluzione dell'integrale con il teorema dei residui ^_^ !!! Complessità bassa per i calcoli da fare, ma un po' complicato per le considerazioni che si devono fare !
Ma partire dall'integrale noto della gaussiana non soddisfava? 
Ll.
Ll.
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